Номер 162, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 162, страница 332.

Условие.

162. a) $\begin{cases} x\sqrt{x} + 3y\sqrt{x} = 36, \\ y\sqrt{y} + 3x\sqrt{y} = 28; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y} = 3\sqrt[6]{xy}, \\ x - y = 63; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - \sqrt{xy} + 2y = 29, \\ 2x - \sqrt{xy} - y = 20; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2}} = \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}, \\ x^3 + 2y^3 = 118. \end{cases}$

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x\sqrt{x} + 3y\sqrt{x} = 36 \\ y\sqrt{y} + 3x\sqrt{y} = 28 \end{cases} $$ Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Если $x=0$ или $y=0$, то левые части уравнений равны нулю, что не соответствует правым частям (36 и 28). Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Перепишем систему, используя свойства степеней: $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$ и $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$. $$ \begin{cases} (\sqrt{x})^3 + 3y\sqrt{x} = 36 \\ (\sqrt{y})^3 + 3x\sqrt{y} = 28 \end{cases} $$ Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $a > 0$ и $b > 0$. Тогда $x=a^2$ и $y=b^2$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a^3 + 3b^2a = 36 \\ b^3 + 3a^2b = 28 \end{cases} $$

Заметим, что левые части уравнений напоминают члены из формулы куба суммы и куба разности. Сложим два уравнения системы: $$(a^3 + 3ab^2) + (b^3 + 3a^2b) = 36 + 28$$ $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 64$$ $$(a+b)^3 = 64$$ Так как $a$ и $b$ - действительные числа, $a+b = \sqrt[3]{64} = 4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого: $$(a^3 + 3ab^2) - (b^3 + 3a^2b) = 36 - 28$$ $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = 8$$ $$(a-b)^3 = 8$$ $$a-b = \sqrt[3]{8} = 2$$

Мы получили новую, более простую систему для $a$ и $b$: $$ \begin{cases} a+b=4 \\ a-b=2 \end{cases} $$ Сложив эти два уравнения, получим: $2a = 6 \implies a=3$.
Подставив $a=3$ в первое уравнение, найдем $b$: $3+b=4 \implies b=1$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$a = \sqrt{x} \implies 3 = \sqrt{x} \implies x = 9$$ $$b = \sqrt{y} \implies 1 = \sqrt{y} \implies y = 1$$ Проверим найденное решение $(9; 1)$ в исходной системе.
$9\sqrt{9} + 3(1)\sqrt{9} = 9 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 27+9=36$.
$1\sqrt{1} + 3(9)\sqrt{1} = 1 \cdot 1 + 27 \cdot 1 = 1+27=28$.
Оба уравнения верны.

Ответ: $(9; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y} = 3\sqrt[6]{xy} \\ x - y = 63 \end{cases} $$ Из-за наличия $\sqrt[6]{xy}$, должно выполняться условие $xy \ge 0$. Это значит, что $x$ и $y$ должны быть одного знака, либо одно из них равно нулю. Из второго уравнения $x=y+63$. Если $y=0$, то $x=63$, $xy=0$. Первое уравнение: $2\sqrt[3]{63}=0$, что неверно. Значит, $x \ne 0, y \ne 0$. Следовательно, $x$ и $y$ одного знака.

Случай 1: $x > 0, y > 0$.
Разделим первое уравнение на $\sqrt[3]{y}$ (так как $y \ne 0$): $$2\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{y}} - 2 = 3\frac{\sqrt[6]{xy}}{\sqrt[3]{y}} \implies 2\sqrt[3]{\frac{x}{y}} - 2 = 3\frac{\sqrt[6]{x}\sqrt[6]{y}}{(\sqrt[6]{y})^2} \implies 2\sqrt[3]{\frac{x}{y}} - 2 = 3\sqrt[6]{\frac{x}{y}}$$ Сделаем замену $t = \sqrt[6]{\frac{x}{y}}$. Тогда $\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = t^2$. Уравнение примет вид: $$2t^2 - 3t - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-2)}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$. Получаем два корня: $t_1 = \frac{8}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{-2}{4} = -0.5$. Так как $x>0, y>0$, то $t = \sqrt[6]{x/y} > 0$. Поэтому корень $t_2 = -0.5$ является посторонним. Остается $t=2$, то есть $\sqrt[6]{\frac{x}{y}} = 2 \implies \frac{x}{y} = 2^6 = 64 \implies x=64y$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы: $$64y - y = 63 \implies 63y=63 \implies y=1$$ Тогда $x = 64 \cdot 1 = 64$. Получили решение $(64; 1)$.

Случай 2: $x < 0, y < 0$.
Из $x=y+63$ следует, что $x>y$. Условие $x<0$ выполняется при $y < -63$. Пусть $x=-x'$ и $y=-y'$, где $x'>0, y'>0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 2\sqrt[3]{-x'} - 2\sqrt[3]{-y'} = 3\sqrt[6]{(-x')(-y')} \\ (-x') - (-y') = 63 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -2\sqrt[3]{x'} + 2\sqrt[3]{y'} = 3\sqrt[6]{x'y'} \\ y' - x' = 63 \end{cases} $$ Аналогично первому случаю, разделим первое уравнение на $\sqrt[3]{x'}$: $$-2 + 2\sqrt[3]{\frac{y'}{x'}} = 3\sqrt[6]{\frac{y'}{x'}}$$ Сделаем замену $s = \sqrt[6]{\frac{y'}{x'}}$. Получим $2s^2 - 3s - 2 = 0$, откуда $s=2$ (так как $s>0$). $\sqrt[6]{\frac{y'}{x'}} = 2 \implies \frac{y'}{x'} = 64 \implies y'=64x'$.
Подставим в уравнение $y' - x' = 63$: $$64x' - x' = 63 \implies 63x' = 63 \implies x'=1$$ Тогда $y' = 64 \cdot 1 = 64$.
Возвращаемся к исходным переменным: $x = -x' = -1$ и $y = -y' = -64$. Проверим это решение: $x-y = -1 - (-64) = 63$. Верно. $2\sqrt[3]{-1} - 2\sqrt[3]{-64} = 2(-1) - 2(-4) = -2+8=6$. $3\sqrt[6]{(-1)(-64)} = 3\sqrt[6]{64} = 3 \cdot 2 = 6$. Верно.

Ответ: $(64; 1)$, $(-1; -64)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - \sqrt{xy} + 2y = 29 \\ 2x - \sqrt{xy} - y = 20 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $xy \ge 0$. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена с корнем: $$(3x - \sqrt{xy} + 2y) - (2x - \sqrt{xy} - y) = 29 - 20$$ $$x + 3y = 9$$ Отсюда выразим $x$: $x = 9 - 3y$.

Для существования $\sqrt{xy}$ необходимо, чтобы $xy \ge 0$. Подставим выражение для $x$: $$(9-3y)y \ge 0 \implies 3y(3-y) \ge 0$$ Это неравенство выполняется при $y \in [0; 3]$.

Теперь подставим $x = 9-3y$ во второе уравнение исходной системы: $$2(9-3y) - \sqrt{(9-3y)y} - y = 20$$ $$18 - 6y - y - \sqrt{9y - 3y^2} = 20$$ $$18 - 7y - \sqrt{9y - 3y^2} = 20$$ $$-\sqrt{9y - 3y^2} = 7y + 2$$

Левая часть этого уравнения ($-\sqrt{...}$) не может быть положительной, то есть $-\sqrt{9y - 3y^2} \le 0$. Следовательно, правая часть также должна быть неположительной: $$7y + 2 \le 0$$ $$7y \le -2$$ $$y \le -\frac{2}{7}$$

Мы получили два условия для $y$: 1. $y \in [0; 3]$ 2. $y \le -2/7$
Эти два условия несовместимы, так как нет значений $y$, которые одновременно были бы меньше или равны $-2/7$ и находились бы в промежутке от 0 до 3. Следовательно, система не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2}} = \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} \\ x^3 + 2y^3 = 118 \end{cases} $$ ОДЗ: $x^2-y^2 \ge 0 \implies x^2 \ge y^2$, и знаменатель не равен нулю, что означает $\sqrt{x^2+y^2} \ne \sqrt{x^2-y^2} \implies y \ne 0$.

Упростим первое уравнение. Воспользуемся свойством пропорций: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$. Пусть $a = \sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}$ и $b = \sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2}$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$. Применим свойство: $$\frac{(\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}) + (\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2})}{(\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}) - (\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2})} = \frac{(5+\sqrt{7})+(5-\sqrt{7})}{(5+\sqrt{7})-(5-\sqrt{7})}$$ $$\frac{2\sqrt{x^2+y^2}}{2\sqrt{x^2-y^2}} = \frac{10}{2\sqrt{7}}$$ $$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2-y^2}} = \frac{5}{\sqrt{7}}$$ Возведем обе части в квадрат: $$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \frac{25}{7}$$ $$7(x^2+y^2) = 25(x^2-y^2)$$ $$7x^2 + 7y^2 = 25x^2 - 25y^2$$ $$32y^2 = 18x^2 \implies 16y^2 = 9x^2$$ Отсюда $4|y| = 3|x|$. Возможны два случая: $4y = 3x$ или $4y = -3x$.

Случай 1: $y = \frac{3}{4}x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$x^3 + 2\left(\frac{3}{4}x\right)^3 = 118$$ $$x^3 + 2\left(\frac{27}{64}x^3\right) = 118$$ $$x^3 + \frac{27}{32}x^3 = 118 \implies \frac{59}{32}x^3 = 118$$ $$x^3 = \frac{118 \cdot 32}{59} = 2 \cdot 32 = 64$$ $x=4$. Тогда $y = \frac{3}{4}(4) = 3$. Проверим ОДЗ: $4^2 \ge 3^2 \implies 16 \ge 9$. Верно. Получили решение $(4; 3)$.

Случай 2: $y = -\frac{3}{4}x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$x^3 + 2\left(-\frac{3}{4}x\right)^3 = 118$$ $$x^3 - 2\left(\frac{27}{64}x^3\right) = 118$$ $$x^3 - \frac{27}{32}x^3 = 118 \implies \frac{5}{32}x^3 = 118$$ $$x^3 = \frac{118 \cdot 32}{5} = \frac{3776}{5}$$ $x = \sqrt[3]{\frac{3776}{5}} = \sqrt[3]{\frac{64 \cdot 59}{5}} = 4\sqrt[3]{\frac{59}{5}}$.
Тогда $y = -\frac{3}{4}x = -\frac{3}{4} \cdot 4\sqrt[3]{\frac{59}{5}} = -3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}$. Получили второе решение: $\left(4\sqrt[3]{\frac{59}{5}}; -3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}\right)$.

Ответ: $(4; 3)$, $\left(4\sqrt[3]{\frac{59}{5}}; -3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}\right)$.