Номер 167, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 167, страница 333.

Условие.

167. Решите уравнение:

а) $\sin 2x + \operatorname{tg} x = 2;$

б) $\sin x + \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = 2.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sin 2x + \tg x = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\tg x$ определена, если $\cos x \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу синуса двойного угла, выраженную через тангенс: $\sin 2x = \frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x} + \tg x = 2$.

Произведем замену переменной. Пусть $t = \tg x$. Уравнение примет вид: $\frac{2t}{1+t^2} + t = 2$.

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда положительно): $2t + t(1+t^2) = 2(1+t^2)$ $2t + t + t^3 = 2 + 2t^2$ $t^3 - 2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Мы получили кубическое уравнение. Найдем его корни. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-2), то есть $\pm 1, \pm 2$. Проверим $t=1$: $1^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$. Так как $t=1$ является корнем, мы можем разделить многочлен $t^3 - 2t^2 + 3t - 2$ на $(t-1)$. $(t-1)(t^2 - t + 2) = 0$.

Отсюда следует, что либо $t-1=0$, либо $t^2 - t + 2 = 0$.
1) $t-1=0 \Rightarrow t=1$.
2) Для квадратного уравнения $t^2 - t + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Единственным решением является $t=1$.

Вернемся к исходной переменной: $\tg x = 1$.

Решением этого уравнения является серия $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x + \ctg\frac{x}{2} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\ctg\frac{x}{2}$ определена, если $\sin\frac{x}{2} \neq 0$, следовательно, $\frac{x}{2} \neq \pi k$, то есть $x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем универсальную тригонометрическую подстановку. Выразим $\sin x$ и $\ctg\frac{x}{2}$ через $t = \tg\frac{x}{2}$: $\sin x = \frac{2\tg\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}} = \frac{2t}{1+t^2}$ $\ctg\frac{x}{2} = \frac{1}{\tg\frac{x}{2}} = \frac{1}{t}$. Из ОДЗ следует, что $\ctg\frac{x}{2}$ существует, поэтому $t \neq 0$.

Подставим выражения в уравнение: $\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1}{t} = 2$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $t(1+t^2)$: $\frac{2t^2 + 1(1+t^2)}{t(1+t^2)} = 2$.

Так как $t \neq 0$ и $1+t^2 \neq 0$, умножим обе части на знаменатель: $2t^2 + 1 + t^2 = 2t(1+t^2)$ $3t^2 + 1 = 2t + 2t^3$ $2t^3 - 3t^2 + 2t - 1 = 0$.

Мы получили кубическое уравнение. Найдем его корни. Проверим рациональные корни вида $p/q$, где $p$ - делитель -1, а $q$ - делитель 2. Возможные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}$. Проверим $t=1$: $2(1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 2 - 3 + 2 - 1 = 0$. Так как $t=1$ является корнем, мы можем разделить многочлен $2t^3 - 3t^2 + 2t - 1$ на $(t-1)$. $(t-1)(2t^2 - t + 1) = 0$.

Отсюда следует, что либо $t-1=0$, либо $2t^2 - t + 1 = 0$.
1) $t-1=0 \Rightarrow t=1$.
2) Для квадратного уравнения $2t^2 - t + 1 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Единственным решением является $t=1$.

Вернемся к исходной переменной: $\tg\frac{x}{2} = 1$.

Решаем это уравнение: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2\pi k$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.