Номер 166, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 166, страница 333.

Условие.

166. Докажите формулу:

а) $\sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} ;$

б) $\cos \alpha = \frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} ;$

в) $\operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} ;$

г) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} .$

Решение 3.

Решение 5.

а) Докажите формулу $ \sin \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $

Для доказательства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $. Представим угол $ \alpha $ как $ 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $. Тогда, подставив $ x = \frac{\alpha}{2} $, получим: $ \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $.

Мы можем представить любое выражение в виде дроби, разделив его на 1. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $. Для угла $ \frac{\alpha}{2} $ оно выглядит как $ \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 $. $ \sin \alpha = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{1} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}} $.

Теперь разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos^2 \frac{\alpha}{2} $ (это возможно, если $ \cos \frac{\alpha}{2} \neq 0 $, то есть когда $ \tg \frac{\alpha}{2} $ определен). $ \sin \alpha = \frac{\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}} $.

Поскольку $ \tg y = \frac{\sin y}{\cos y} $, мы можем заменить отношения синуса и косинуса на тангенс: $ \sin \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $. Формула доказана.

Ответ: Формула $ \sin \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $ доказана, исходя из формулы синуса двойного угла и основного тригонометрического тождества.

б) Докажите формулу $ \cos \alpha = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $

Для доказательства воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $. Представим угол $ \alpha $ как $ 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $ и подставим $ x = \frac{\alpha}{2} $: $ \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} $.

Как и в предыдущем пункте, разделим выражение на 1, используя тождество $ \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 $: $ \cos \alpha = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{1} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}} $.

Разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos^2 \frac{\alpha}{2} $: $ \cos \alpha = \frac{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}} = \frac{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{ \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} + \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}} $.

Заменяя $ \frac{\sin y}{\cos y} $ на $ \tg y $, получаем: $ \cos \alpha = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $. Формула доказана.

Ответ: Формула $ \cos \alpha = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $ доказана, исходя из формулы косинуса двойного угла и основного тригонометрического тождества.

в) Докажите формулу $ \tg \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $

Эта формула является формулой тангенса двойного угла $ \tg(2x) = \frac{2 \tg x}{1 - \tg^2 x} $. Если мы положим $ x = \frac{\alpha}{2} $, то $ 2x = \alpha $. Подстановка напрямую дает требуемую формулу: $ \tg \alpha = \tg(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $.

Альтернативно, можно доказать эту формулу, используя уже доказанные выражения для $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $: $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}}} $.

Сокращая общий знаменатель $ (1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}) $ в числителе и знаменателе сложной дроби, получаем: $ \tg \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $. Формула доказана.

Ответ: Формула $ \tg \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $ является формулой тангенса двойного угла и также может быть выведена из формул для синуса и косинуса через тангенс половинного угла.

г) Докажите формулу $ \ctg \alpha = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \tg \frac{\alpha}{2}} $

По определению, котангенс является обратной величиной тангенсу: $ \ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} $. Используя формулу для $ \tg \alpha $ из предыдущего пункта: $ \tg \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $.

Подставим это выражение в определение котангенса: $ \ctg \alpha = \frac{1}{\frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}} $.

"Перевернув" дробь в знаменателе, получаем: $ \ctg \alpha = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \tg \frac{\alpha}{2}} $.

Также можно воспользоваться определением $ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и формулами из пунктов а) и б): $ \ctg \alpha = \frac{\frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}}} = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \tg \frac{\alpha}{2}} $. Формула доказана.

Ответ: Формула $ \ctg \alpha = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \tg \frac{\alpha}{2}} $ доказана путем использования определения котангенса и ранее доказанных формул.