Номер 173, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 173, страница 333.

Условие.

173. $2 \cos \frac{x}{10} = 2^x + 2^{-x}$.

Решение 5.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки, сравнивая области значений левой и правой частей.

Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = 2 \cos\frac{x}{10}$. Известно, что функция косинуса ограничена, то есть для любого действительного $x$ справедливо неравенство $-1 \le \cos\frac{x}{10} \le 1$. Умножая все части неравенства на 2, получаем оценку для левой части: $-2 \le 2 \cos\frac{x}{10} \le 2$. Это означает, что максимальное значение левой части уравнения равно 2.

Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = 2^x + 2^{-x}$. Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a=2^x$ и $b=2^{-x}$, имеем: $2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}$. Правая часть этого неравенства упрощается: $2\sqrt{2^{x-x}} = 2\sqrt{2^0} = 2\sqrt{1} = 2$. Следовательно, для любого действительного $x$ справедливо неравенство $2^x + 2^{-x} \ge 2$. Это означает, что минимальное значение правой части уравнения равно 2. Равенство достигается только тогда, когда $2^x = 2^{-x}$, что выполняется при $x=-x$, то есть при $x=0$.

Таким образом, исходное равенство $2 \cos\frac{x}{10} = 2^x + 2^{-x}$ может выполняться только в том случае, когда обе его части одновременно равны 2, поскольку левая часть не может быть больше 2, а правая часть не может быть меньше 2. Это требует одновременного выполнения двух условий: $2 \cos\frac{x}{10} = 2$ и $2^x + 2^{-x} = 2$.

Из второго условия, как было показано, однозначно следует, что $x=0$. Проверим, выполняется ли при $x=0$ первое условие: $2 \cos\frac{0}{10} = 2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$. Условие выполняется.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=0$.

Ответ: $x=0$.