Номер 174, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 174, страница 334.
№174 (с. 334)
Условие. №174 (с. 334)
скриншот условия

174. $x^2 + 2x \sin(xy) + 1 = 0$
Решение 3. №174 (с. 334)

Решение 5. №174 (с. 334)
Преобразуем исходное уравнение $x^2 + 2x \sin(xy) + 1 = 0$.
Сначала заметим, что $x=0$ не является решением уравнения, так как при подстановке $x=0$ получается $0^2 + 2 \cdot 0 \cdot \sin(0) + 1 = 0$, что приводит к неверному равенству $1=0$. Следовательно, $x \ne 0$.
Поскольку $x \ne 0$, мы можем разделить уравнение на $x$ или выразить $\sin(xy)$. Выразим $\sin(xy)$:
$2x \sin(xy) = -x^2 - 1$
$\sin(xy) = \frac{-x^2 - 1}{2x} = -\frac{x^2 + 1}{2x}$
Разделив числитель на знаменатель почленно, получаем:
$\sin(xy) = -\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)$
Мы знаем, что область значений функции синус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть:
$-1 \le \sin(xy) \le 1$
Подставив наше выражение для синуса, получим двойное неравенство:
$-1 \le -\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right) \le 1$
Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$2 \ge x + \frac{1}{x} \ge -2$
Теперь проанализируем выражение $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
- Если $x > 0$, то по неравенству о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) имеем $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$. Равенство достигается, когда $x = \frac{1}{x}$, то есть $x^2 = 1$, откуда $x=1$ (так как мы рассматриваем $x>0$).
- Если $x < 0$, то пусть $x = -t$, где $t > 0$. Тогда $x + \frac{1}{x} = -t - \frac{1}{t} = -\left(t + \frac{1}{t}\right)$. Так как $t + \frac{1}{t} \ge 2$, то $-\left(t + \frac{1}{t}\right) \le -2$. Равенство достигается при $t=1$, что соответствует $x=-1$.
Таким образом, для любого ненулевого действительного $x$ выполняется $|x + \frac{1}{x}| \ge 2$.
Сопоставляя это с условием $2 \ge x + \frac{1}{x} \ge -2$, приходим к выводу, что равенство в исходном уравнении возможно только в двух случаях: когда $x + \frac{1}{x} = 2$ или $x + \frac{1}{x} = -2$.
Случай 1: $x + \frac{1}{x} = 2$
Умножая на $x$ и перенося все в одну часть, получаем $x^2 - 2x + 1 = 0$, или $(x-1)^2=0$. Отсюда $x=1$.
При этом значении $x$ выражение для синуса принимает значение $\sin(xy) = -\frac{1}{2}(2) = -1$.
Подставим $x=1$ в $\sin(xy) = -1$:
$\sin(1 \cdot y) = -1 \implies \sin(y) = -1$.
Решением этого тригонометрического уравнения является $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Получаем первую серию решений: $(1, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $x + \frac{1}{x} = -2$
Умножая на $x$ и перенося все в одну часть, получаем $x^2 + 2x + 1 = 0$, или $(x+1)^2=0$. Отсюда $x=-1$.
При этом значении $x$ выражение для синуса принимает значение $\sin(xy) = -\frac{1}{2}(-2) = 1$.
Подставим $x=-1$ в $\sin(xy) = 1$:
$\sin(-1 \cdot y) = 1 \implies \sin(-y) = 1$.
Используя нечетность синуса, $\sin(-y) = -\sin(y)$, получаем $-\sin(y) = 1$, или $\sin(y) = -1$.
Решением снова является $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Получаем вторую серию решений: $(-1, -\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что для $x=1$ и $x=-1$ значения $y$ определяются из одного и того же уравнения $\sin(y)=-1$.
Ответ: Решениями уравнения являются пары чисел $(x,y)$, где $x = \pm 1$ и $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ для любого целого числа $n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 174 расположенного на странице 334 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №174 (с. 334), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.