Номер 174, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 174, страница 334.

Условие.

174. $x^2 + 2x \sin(xy) + 1 = 0$

Решение 3.

Решение 5.

Преобразуем исходное уравнение $x^2 + 2x \sin(xy) + 1 = 0$.

Сначала заметим, что $x=0$ не является решением уравнения, так как при подстановке $x=0$ получается $0^2 + 2 \cdot 0 \cdot \sin(0) + 1 = 0$, что приводит к неверному равенству $1=0$. Следовательно, $x \ne 0$.

Поскольку $x \ne 0$, мы можем разделить уравнение на $x$ или выразить $\sin(xy)$. Выразим $\sin(xy)$:

$2x \sin(xy) = -x^2 - 1$

$\sin(xy) = \frac{-x^2 - 1}{2x} = -\frac{x^2 + 1}{2x}$

Разделив числитель на знаменатель почленно, получаем:

$\sin(xy) = -\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)$

Мы знаем, что область значений функции синус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть:

$-1 \le \sin(xy) \le 1$

Подставив наше выражение для синуса, получим двойное неравенство:

$-1 \le -\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right) \le 1$

Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$2 \ge x + \frac{1}{x} \ge -2$

Теперь проанализируем выражение $f(x) = x + \frac{1}{x}$.

• Если $x > 0$, то по неравенству о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) имеем $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$. Равенство достигается, когда $x = \frac{1}{x}$, то есть $x^2 = 1$, откуда $x=1$ (так как мы рассматриваем $x>0$).
• Если $x < 0$, то пусть $x = -t$, где $t > 0$. Тогда $x + \frac{1}{x} = -t - \frac{1}{t} = -\left(t + \frac{1}{t}\right)$. Так как $t + \frac{1}{t} \ge 2$, то $-\left(t + \frac{1}{t}\right) \le -2$. Равенство достигается при $t=1$, что соответствует $x=-1$.

Таким образом, для любого ненулевого действительного $x$ выполняется $|x + \frac{1}{x}| \ge 2$.

Сопоставляя это с условием $2 \ge x + \frac{1}{x} \ge -2$, приходим к выводу, что равенство в исходном уравнении возможно только в двух случаях: когда $x + \frac{1}{x} = 2$ или $x + \frac{1}{x} = -2$.

Случай 1: $x + \frac{1}{x} = 2$

Умножая на $x$ и перенося все в одну часть, получаем $x^2 - 2x + 1 = 0$, или $(x-1)^2=0$. Отсюда $x=1$.

При этом значении $x$ выражение для синуса принимает значение $\sin(xy) = -\frac{1}{2}(2) = -1$.

Подставим $x=1$ в $\sin(xy) = -1$:

$\sin(1 \cdot y) = -1 \implies \sin(y) = -1$.

Решением этого тригонометрического уравнения является $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Получаем первую серию решений: $(1, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $x + \frac{1}{x} = -2$

Умножая на $x$ и перенося все в одну часть, получаем $x^2 + 2x + 1 = 0$, или $(x+1)^2=0$. Отсюда $x=-1$.

При этом значении $x$ выражение для синуса принимает значение $\sin(xy) = -\frac{1}{2}(-2) = 1$.

Подставим $x=-1$ в $\sin(xy) = 1$:

$\sin(-1 \cdot y) = 1 \implies \sin(-y) = 1$.

Используя нечетность синуса, $\sin(-y) = -\sin(y)$, получаем $-\sin(y) = 1$, или $\sin(y) = -1$.

Решением снова является $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Получаем вторую серию решений: $(-1, -\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя результаты обоих случаев, мы видим, что для $x=1$ и $x=-1$ значения $y$ определяются из одного и того же уравнения $\sin(y)=-1$.

Ответ: Решениями уравнения являются пары чисел $(x,y)$, где $x = \pm 1$ и $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ для любого целого числа $n \in \mathbb{Z}$.