Номер 175, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 175, страница 334.
№175 (с. 334)
Условие. №175 (с. 334)
скриншот условия

175. $8 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}$.
Решение 5. №175 (с. 334)
Исходное уравнение: $8 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю:$\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$.Это эквивалентно тому, что $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \neq 0$, откуда $2x \neq \pi m$, то есть $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m \in \mathbb{Z}$.
Приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю $\sin x \cos x$:$8 \sin x = \frac{\sqrt{3} \sin x + \cos x}{\sin x \cos x}$
Умножим обе части уравнения на $\sin x \cos x$, так как в ОДЗ это выражение не равно нулю:$8 \sin x (\sin x \cos x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$$8 \sin^2 x \cos x = \sqrt{3} \sin x + \cos x$
Перенесем все члены с тригонометрическими функциями в левую часть и сгруппируем их:$8 \sin^2 x \cos x - \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки из первых двух слагаемых:$\cos x (8 \sin^2 x - 1) - \sqrt{3} \sin x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:$\cos x (8(1 - \cos^2 x) - 1) - \sqrt{3} \sin x = 0$$\cos x (8 - 8 \cos^2 x - 1) - \sqrt{3} \sin x = 0$$\cos x (7 - 8 \cos^2 x) - \sqrt{3} \sin x = 0$$7 \cos x - 8 \cos^3 x - \sqrt{3} \sin x = 0$
Перегруппируем слагаемые:$7 \cos x - \sqrt{3} \sin x = 8 \cos^3 x$
Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x$. Из нее следует, что $4\cos^3 x = \cos(3x) + 3\cos x$, а значит $8\cos^3 x = 2\cos(3x) + 6\cos x$. Подставим это выражение в правую часть нашего уравнения:$7 \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2\cos(3x) + 6\cos x$
Упростим уравнение, перенеся $6\cos x$ влево:$7 \cos x - 6 \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2\cos(3x)$$\cos x - \sqrt{3} \sin x = 2\cos(3x)$
Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла. Для выражения $a \cos x + b \sin x$ коэффициент равен $\sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае $a=1, b=-\sqrt{3}$, поэтому коэффициент равен $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.$2 \left( \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right) = 2\cos(3x)$
Разделим обе части на 2. Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$.$\cos(\frac{\pi}{3}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin x = \cos(3x)$
Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(3x)$
Решение уравнения вида $\cos A = \cos B$ дается совокупностью $A = \pm B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.$x + \frac{\pi}{3} = \pm 3x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Рассмотрим два случая:
1) $x + \frac{\pi}{3} = 3x + 2\pi n$
$\frac{\pi}{3} - 2\pi n = 2x$
$x = \frac{\pi}{6} - \pi n$. Так как $n$ — любое целое число, то $-n$ также является любым целым числом. Обозначим его через $k$.
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $x + \frac{\pi}{3} = -3x + 2\pi n$
$4x = 2\pi n - \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{2\pi n}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}, n \in \mathbb{Z}$
Обе серии корней удовлетворяют ОДЗ, так как при подстановке в условие $x = \frac{\pi m}{2}$ получаются уравнения, не имеющие решений в целых числах.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}, n \in \mathbb{Z}.$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 175 расположенного на странице 334 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №175 (с. 334), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.