Номер 175, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 175, страница 334.

Условие.

175. $8 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}$.

Решение 5.

Исходное уравнение: $8 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю:$\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$.Это эквивалентно тому, что $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \neq 0$, откуда $2x \neq \pi m$, то есть $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m \in \mathbb{Z}$.

Приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю $\sin x \cos x$:$8 \sin x = \frac{\sqrt{3} \sin x + \cos x}{\sin x \cos x}$

Умножим обе части уравнения на $\sin x \cos x$, так как в ОДЗ это выражение не равно нулю:$8 \sin x (\sin x \cos x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$$8 \sin^2 x \cos x = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

Перенесем все члены с тригонометрическими функциями в левую часть и сгруппируем их:$8 \sin^2 x \cos x - \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки из первых двух слагаемых:$\cos x (8 \sin^2 x - 1) - \sqrt{3} \sin x = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:$\cos x (8(1 - \cos^2 x) - 1) - \sqrt{3} \sin x = 0$$\cos x (8 - 8 \cos^2 x - 1) - \sqrt{3} \sin x = 0$$\cos x (7 - 8 \cos^2 x) - \sqrt{3} \sin x = 0$$7 \cos x - 8 \cos^3 x - \sqrt{3} \sin x = 0$

Перегруппируем слагаемые:$7 \cos x - \sqrt{3} \sin x = 8 \cos^3 x$

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x$. Из нее следует, что $4\cos^3 x = \cos(3x) + 3\cos x$, а значит $8\cos^3 x = 2\cos(3x) + 6\cos x$. Подставим это выражение в правую часть нашего уравнения:$7 \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2\cos(3x) + 6\cos x$

Упростим уравнение, перенеся $6\cos x$ влево:$7 \cos x - 6 \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2\cos(3x)$$\cos x - \sqrt{3} \sin x = 2\cos(3x)$

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла. Для выражения $a \cos x + b \sin x$ коэффициент равен $\sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае $a=1, b=-\sqrt{3}$, поэтому коэффициент равен $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.$2 \left( \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right) = 2\cos(3x)$

Разделим обе части на 2. Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$.$\cos(\frac{\pi}{3}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin x = \cos(3x)$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(3x)$

Решение уравнения вида $\cos A = \cos B$ дается совокупностью $A = \pm B + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.$x + \frac{\pi}{3} = \pm 3x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $x + \frac{\pi}{3} = 3x + 2\pi n$
$\frac{\pi}{3} - 2\pi n = 2x$
$x = \frac{\pi}{6} - \pi n$. Так как $n$ — любое целое число, то $-n$ также является любым целым числом. Обозначим его через $k$.
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{3} = -3x + 2\pi n$
$4x = 2\pi n - \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{2\pi n}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}, n \in \mathbb{Z}$

Обе серии корней удовлетворяют ОДЗ, так как при подстановке в условие $x = \frac{\pi m}{2}$ получаются уравнения, не имеющие решений в целых числах.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}, n \in \mathbb{Z}.$