Номер 171, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 171, страница 333.

Условие.

171. $\cos \frac{\pi x}{31} \cos \frac{2\pi x}{31} \cos \frac{4\pi x}{31} \cos \frac{8\pi x}{31} \cos \frac{16\pi x}{31} = \frac{1}{32}$.

Решение 5.

Данное уравнение:

$$ \cos\frac{\pi x}{31} \cos\frac{2\pi x}{31} \cos\frac{4\pi x}{31} \cos\frac{8\pi x}{31} \cos\frac{16\pi x}{31} = \frac{1}{32} $$

Обозначим $a = \frac{\pi x}{31}$. Уравнение можно записать в виде произведения косинусов с удваивающимся аргументом:

$$ \cos(a) \cos(2a) \cos(4a) \cos(8a) \cos(16a) = \frac{1}{32} $$

Для решения такого типа уравнений используется тождество $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k a) = \frac{\sin(2^n a)}{2^n \sin a}$. Это тождество применимо, если $\sin a \neq 0$.

Рассмотрим случай, когда $\sin a = 0$. Это соответствует условию $\sin\frac{\pi x}{31} = 0$, что означает $\frac{\pi x}{31} = m\pi$ для некоторого целого числа $m$, то есть $x = 31m$.

Подставим $x = 31m$ в исходное уравнение. Левая часть примет вид:

$$ \cos(m\pi) \cos(2m\pi) \cos(4m\pi) \cos(8m\pi) \cos(16m\pi) $$

Поскольку $\cos(2^k m\pi) = 1$ для $k \ge 1$ и целых $m$, произведение равно $\cos(m\pi) = (-1)^m$. Уравнение становится $(-1)^m = \frac{1}{32}$, что не имеет решений для целых $m$. Следовательно, случай $\sin a = 0$ невозможен, и мы можем применять тождество.

В нашем уравнении $n=5$. Применяя тождество, получаем:

$$ \frac{\sin(2^5 a)}{2^5 \sin a} = \frac{\sin(32a)}{32 \sin a} $$

Тогда исходное уравнение эквивалентно следующему:

$$ \frac{\sin(32 \frac{\pi x}{31})}{32 \sin(\frac{\pi x}{31})} = \frac{1}{32} $$

$$ \sin\left(\frac{32\pi x}{31}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{31}\right) $$

Используем формулу для разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$$ \sin\left(\frac{32\pi x}{31}\right) - \sin\left(\frac{\pi x}{31}\right) = 0 $$

$$ 2 \sin\left(\frac{\frac{32\pi x}{31} - \frac{\pi x}{31}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{32\pi x}{31} + \frac{\pi x}{31}}{2}\right) = 0 $$

$$ 2 \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \cos\left(\frac{33\pi x}{62}\right) = 0 $$

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум сериям решений.

Случай 1: $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0$

$$ \frac{\pi x}{2} = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$

$$ x = 2n $$

Мы должны исключить из этой серии решения, которые приводят к $\sin\frac{\pi x}{31} = 0$, то есть $x = 31m$. Условие $2n = 31m$, ввиду взаимной простоты 2 и 31, выполняется, если $n$ кратно 31. То есть, $n = 31j$ для $j \in \mathbb{Z}$. Эти значения $n$ нужно исключить. Таким образом, первая серия решений: $x = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n$ не делится на 31.

Случай 2: $\cos\left(\frac{33\pi x}{62}\right) = 0$

$$ \frac{33\pi x}{62} = \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{(2k+1)\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

$$ \frac{33x}{62} = \frac{2k+1}{2} \implies 33x = 31(2k+1) \implies x = \frac{31(2k+1)}{33} $$

Снова проверим условие $\sin\frac{\pi x}{31} \neq 0$.

$$ \sin\left(\frac{\pi}{31} \cdot \frac{31(2k+1)}{33}\right) = \sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{33}\right) $$

Это выражение равно нулю, если $\frac{2k+1}{33}$ — целое число, то есть $2k+1 = 33m$ для $m \in \mathbb{Z}$. Так как левая часть нечетна, $m$ тоже должно быть нечетным. Пусть $m = 2j+1$. Тогда $2k+1 = 33(2j+1) \implies 2k = 66j+32 \implies k = 33j+16$. Эти значения $k$ необходимо исключить. Таким образом, вторая серия решений: $x = \frac{31(2k+1)}{33}$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k$ не имеет вид $33j+16$.

Ответ: Совокупность двух серий решений: $x = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $n \not\equiv 0 \pmod{31}$; и $x = \frac{31(2k+1)}{33}$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k \not\equiv 16 \pmod{33}$.