Номер 165, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 165, страница 333.

Условие.

165. а) $\frac{1}{\cos^4 x} - \operatorname{tg}^4 x = 17;$

б) $\operatorname{tg} 3x - \operatorname{tg} x = 2 (\sin 4x - \sin 2x);$

в) $3 (\log_2 \sin x)^2 + \log_2 (1 - \cos 2x) = 2;$

г) $2^{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2} - \cos x} = 4.$

Решение 3.

Решение 5.

а)
Дано уравнение: $\frac{1}{\cos^4 x} - \text{tg}^4 x = 17$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем основное тригонометрическое тождество в виде $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \text{tg}^2 x$.
Тогда $\frac{1}{\cos^4 x} = \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)^2 = (1 + \text{tg}^2 x)^2$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(1 + \text{tg}^2 x)^2 - \text{tg}^4 x = 17$.
Раскроем скобки:
$1 + 2 \text{tg}^2 x + (\text{tg}^2 x)^2 - \text{tg}^4 x = 17$.
$1 + 2 \text{tg}^2 x + \text{tg}^4 x - \text{tg}^4 x = 17$.
$1 + 2 \text{tg}^2 x = 17$.
$2 \text{tg}^2 x = 16$.
$\text{tg}^2 x = 8$.
Отсюда $\text{tg} x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
Решениями являются две серии корней:
$x = \text{arctg}(2\sqrt{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \text{arctg}(-2\sqrt{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Это можно объединить в одну запись: $x = \pm \text{arctg}(2\sqrt{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как тангенс для них определен.

Ответ: $x = \pm \text{arctg}(2\sqrt{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)
Дано уравнение: $\text{tg } 3x - \text{tg } x = 2 (\sin 4x - \sin 2x)$.
ОДЗ: $\cos 3x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.
Преобразуем левую часть по формуле разности тангенсов $\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$:
$\text{tg } 3x - \text{tg } x = \frac{\sin(3x-x)}{\cos 3x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 3x \cos x}$.
Преобразуем правую часть по формуле разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2 (\sin 4x - \sin 2x) = 2 \left(2 \cos\frac{4x+2x}{2}\sin\frac{4x-2x}{2}\right) = 4 \cos 3x \sin x$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{\sin 2x}{\cos 3x \cos x} = 4 \cos 3x \sin x$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$\frac{2 \sin x \cos x}{\cos 3x \cos x} = 4 \cos 3x \sin x$.
Так как по ОДЗ $\cos x \neq 0$, мы можем сократить на $\cos x$:
$\frac{2 \sin x}{\cos 3x} = 4 \cos 3x \sin x$.
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$\frac{2 \sin x}{\cos 3x} - 4 \cos 3x \sin x = 0$.
$2 \sin x \left(\frac{1}{\cos 3x} - 2 \cos 3x\right) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ: $\cos(\pi k) = \pm 1 \neq 0$ и $\cos(3\pi k) = \pm 1 \neq 0$. Следовательно, эта серия корней подходит.
2) $\frac{1}{\cos 3x} - 2 \cos 3x = 0$.
$\frac{1}{\cos 3x} = 2 \cos 3x$.
$1 = 2 \cos^2 3x$.
$\cos^2 3x = \frac{1}{2}$.
$\cos 3x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$. Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos 3x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$ для данных значений $x$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

в)
Дано уравнение: $3 (\log_2 \sin x)^2 + \log_2 (1 - \cos 2x) = 2$.
ОДЗ:
1) $\sin x > 0$.
2) $1 - \cos 2x > 0$. Используя формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, получаем $1 - (1 - 2\sin^2 x) > 0 \implies 2\sin^2 x > 0 \implies \sin x \neq 0$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $\sin x > 0$.
Преобразуем выражение в логарифме: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.
Подставим в уравнение:
$3 (\log_2 \sin x)^2 + \log_2 (2\sin^2 x) = 2$.
Используем свойства логарифмов $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_a(b^p) = p \log_a b$:
$\log_2(2\sin^2 x) = \log_2 2 + \log_2(\sin^2 x) = 1 + 2 \log_2(\sin x)$ (так как $\sin x > 0$).
Уравнение принимает вид:
$3 (\log_2 \sin x)^2 + 1 + 2 \log_2 \sin x = 2$.
Произведем замену переменной. Пусть $y = \log_2 \sin x$.
$3y^2 + 2y + 1 = 2$.
$3y^2 + 2y - 1 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2-4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Выполним обратную замену:
1) $\log_2 \sin x = \frac{1}{3} \implies \sin x = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$. Так как $\sqrt[3]{2} > 1$, это уравнение не имеет решений.
2) $\log_2 \sin x = -1 \implies \sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($\sin x > 0$).
Решаем уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)
Дано уравнение: $2^{2 \text{tg} \frac{x}{2} - \cos x} = 4$.
ОДЗ: $\cos\frac{x}{2} \neq 0 \implies \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Представим правую часть как степень двойки: $4 = 2^2$.
$2^{2 \text{tg} \frac{x}{2} - \cos x} = 2^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$2 \text{tg} \frac{x}{2} - \cos x = 2$.
Используем универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \text{tg} \frac{x}{2}$. Тогда $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
Подставляем в уравнение:
$2t - \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2$.
Домножим обе части на $1+t^2$ (это выражение всегда больше нуля):
$2t(1+t^2) - (1-t^2) = 2(1+t^2)$.
$2t + 2t^3 - 1 + t^2 = 2 + 2t^2$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$2t^3 + t^2 - 2t^2 + 2t - 1 - 2 = 0$.
$2t^3 - t^2 + 2t - 3 = 0$.
Найдем корень этого кубического уравнения подбором среди делителей свободного члена ($\pm 1, \pm 3$) и дробей, где в знаменателе делители старшего коэффициента ($\pm 1/2, \pm 3/2$).
Проверим $t=1$: $2(1)^3 - (1)^2 + 2(1) - 3 = 2 - 1 + 2 - 3 = 0$.
Значит, $t=1$ является корнем. Разделим многочлен $2t^3 - t^2 + 2t - 3$ на $(t-1)$:
$(2t^3 - t^2 + 2t - 3) : (t-1) = 2t^2 + t + 3$.
Получаем уравнение: $(t-1)(2t^2 + t + 3) = 0$.
1) $t-1=0 \implies t=1$.
2) $2t^2 + t + 3 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Единственное решение $t=1$.
Выполняем обратную замену:
$\text{tg} \frac{x}{2} = 1$.
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.