Номер 159, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 159, страница 332.

Условие.

Решите системы уравнений (159—162).

159. а)

$\begin{cases} \sqrt[3]{x}\sqrt{y} + \sqrt{x}\sqrt[3]{y} = 12, \\ xy = 64; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4, \\ x + y = 28; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 2. \end{cases}$

Решение 5.

а)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt[3]{x}\sqrt{y} + \sqrt{x}\sqrt[3]{y} = 12 \\xy = 64\end{cases}$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \ge 0$ и $y \ge 0$, так как переменные находятся под знаком квадратного корня.

Преобразуем первое уравнение. Вынесем за скобки общий множитель $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = (xy)^{1/3}$:

$(xy)^{1/3} \cdot (y^{1/2-1/3} + x^{1/2-1/3}) = 12$

$(xy)^{1/3} \cdot (y^{1/6} + x^{1/6}) = 12$

Из второго уравнения системы нам известно, что $xy=64$. Тогда $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$4(\sqrt[6]{y} + \sqrt[6]{x}) = 12$

$\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y} = 3$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[6]{x}$ и $b = \sqrt[6]{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $x = a^6$ и $y = b^6$. Система примет вид:

$$\begin{cases}a + b = 3 \\a^6 b^6 = 64\end{cases}$$

Второе уравнение можно переписать как $(ab)^6 = 64$. Так как $a, b \ge 0$, то $ab = \sqrt[6]{64} = 2$.

Получаем простую систему для $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a+b=3 \\ab=2\end{cases}$$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $(t-1)(t-2) = 0$, откуда $t_1=1$, $t_2=2$.

Возможны два случая:

1. $a=1, b=2$.

$\sqrt[6]{x} = 1 \implies x = 1^6 = 1$.

$\sqrt[6]{y} = 2 \implies y = 2^6 = 64$.

Получили пару $(1, 64)$.

2. $a=2, b=1$.

$\sqrt[6]{x} = 2 \implies x = 2^6 = 64$.

$\sqrt[6]{y} = 1 \implies y = 1^6 = 1$.

Получили пару $(64, 1)$.

Обе пары удовлетворяют ОДЗ. Проверим их, подставив в исходную систему.

Для $(1, 64)$: $\sqrt[3]{1}\sqrt{64} + \sqrt{1}\sqrt[3]{64} = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 = 12$. Второе уравнение: $1 \cdot 64 = 64$. Решение верное.

Для $(64, 1)$: $\sqrt[3]{64}\sqrt{1} + \sqrt{64}\sqrt[3]{1} = 4 \cdot 1 + 8 \cdot 1 = 12$. Второе уравнение: $64 \cdot 1 = 64$. Решение верное.

Ответ: $(1, 64), (64, 1)$.

б)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\x+y=5\end{cases}$$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$, так как переменные находятся в знаменателе дроби под корнем.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x, y > 0$, то $t > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.

Умножим обе части на $2t$ (так как $t \ne 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят по условию $t > 0$.

Возвращаемся к исходным переменным, рассматривая два случая:

1. $\sqrt{\frac{x}{y}} = 2$.

Возводим обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $4y + y = 5$, что дает $5y=5$, то есть $y=1$.

Тогда $x = 4 \cdot 1 = 4$. Получили решение $(4, 1)$.

2. $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}$.

Возводим обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$, откуда $y = 4x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $x + 4x = 5$, что дает $5x=5$, то есть $x=1$.

Тогда $y = 4 \cdot 1 = 4$. Получили решение $(1, 4)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Проверка не требуется, так как преобразования были равносильными.

Ответ: $(4, 1), (1, 4)$.

в)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4 \\x+y=28\end{cases}$$

Сделаем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$. Система примет вид:

$$\begin{cases}a+b=4 \\a^3+b^3=28\end{cases}$$

Используем формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Подставим известные значения из системы: $28 = 4(a^2-ab+b^2)$, откуда $a^2-ab+b^2 = 7$.

Выразим $a^2+b^2$ через $(a+b)^2$: $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = 4^2 - 2ab = 16-2ab$.

Подставим это в уравнение $a^2-ab+b^2 = 7$:

$(16-2ab) - ab = 7$

$16 - 3ab = 7$

$3ab = 9$

$ab = 3$

Теперь у нас есть система для $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a+b=4 \\ab=3\end{cases}$$

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $(t-1)(t-3) = 0$, откуда $t_1=1$, $t_2=3$.

Возможны два случая:

1. $a=1, b=3$.

$\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$.

$\sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27$.

Получили пару $(1, 27)$.

2. $a=3, b=1$.

$\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

$\sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$.

Получили пару $(27, 1)$.

Проверка для $(1, 27)$: $\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{27}=1+3=4$ и $1+27=28$. Верно.

Проверка для $(27, 1)$: $\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{1}=3+1=4$ и $27+1=28$. Верно.

Ответ: $(1, 27), (27, 1)$.

г)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 2\end{cases}$$

Сделаем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Система уравнений в новых переменных будет выглядеть так:

$$\begin{cases}a+b=3 \\a^2 - ab + b^2 = 2\end{cases}$$

Данная система является симметрической. Второй уравнение напоминает неполный квадрат разности, который является одним из множителей в формуле суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Умножим левые и правые части уравнений системы друг на друга:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = 3 \cdot 2$

$a^3+b^3 = 6$

Теперь найдем произведение $ab$. Возведем первое уравнение системы $a+b=3$ в квадрат:

$(a+b)^2 = 3^2$

$a^2+2ab+b^2 = 9$

Из второго уравнения системы $a^2-ab+b^2=2$ выразим $a^2+b^2 = 2+ab$.

Подставим это выражение в уравнение, полученное после возведения в квадрат:

$(2+ab) + 2ab = 9$

$2+3ab = 9$

$3ab = 7$

$ab = \frac{7}{3}$

Таким образом, $a$ и $b$ должны удовлетворять системе:

$$\begin{cases}a+b=3 \\ab=\frac{7}{3}\end{cases}$$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 3t + \frac{7}{3} = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{7}{3} = 9 - \frac{28}{3} = \frac{27-28}{3} = -\frac{1}{3}$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, не существует действительных значений $a$ и $b$, удовлетворяющих системе.

Это означает, что исходная система уравнений не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет действительных решений.