Номер 156, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 156, страница 332.

Условие.

156. a) $x^2 - 2x + 3 < \sqrt{4 - x^2}$;

б) $\sqrt{3 - x} - \sqrt{x + 1} > \frac{1}{2}$.

Решение 5.

а) $x^2 - 2x + 3 < \sqrt{4 - x^2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$4 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 4$
$-2 \le x \le 2$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Проанализируем левую и правую части неравенства на найденной ОДЗ.
Левая часть: $f(x) = x^2 - 2x + 3$.
Выделим полный квадрат: $x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$.
Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то минимальное значение левой части равно 2 (при $x=1$). Таким образом, $x^2 - 2x + 3 \ge 2$.

Правая часть: $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$.
На ОДЗ $x \in [-2, 2]$, выражение $4-x^2$ принимает значения от 0 (при $x=\pm2$) до 4 (при $x=0$).
Следовательно, $\sqrt{4-x^2}$ принимает значения от $\sqrt{0}=0$ до $\sqrt{4}=2$.
Таким образом, $\sqrt{4 - x^2} \le 2$.

3. Сравним левую и правую части.
Мы получили, что для любого $x$ из ОДЗ выполняются условия:
$x^2 - 2x + 3 \ge 2$
$\sqrt{4 - x^2} \le 2$
Исходное неравенство $x^2 - 2x + 3 < \sqrt{4 - x^2}$ требует, чтобы левая часть была строго меньше правой. Однако, левая часть всегда больше или равна 2, а правая всегда меньше или равна 2. Левая часть не может быть меньше правой. Равенство $x^2 - 2x + 3 = \sqrt{4 - x^2} = 2$ также невозможно, так как левая часть равна 2 при $x=1$, а правая — при $x=0$.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

б) $\sqrt{3 - x} - \sqrt{x + 1} > \frac{1}{2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -1 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-1, 3]$.

2. Перенесем один из корней в правую часть, чтобы обе части неравенства стали положительными:
$\sqrt{3 - x} > \frac{1}{2} + \sqrt{x + 1}$
Так как обе части неравенства теперь положительны на ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{3 - x})^2 > (\frac{1}{2} + \sqrt{x + 1})^2$
$3 - x > \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x+1} + (x+1)$
$3 - x > \frac{1}{4} + \sqrt{x+1} + x + 1$

3. Упростим неравенство и уединим оставшийся корень:
$3 - x - x - 1 - \frac{1}{4} > \sqrt{x+1}$
$2 - 2x - \frac{1}{4} > \sqrt{x+1}$
$\frac{7}{4} - 2x > \sqrt{x+1}$

4. Для решения полученного иррационального неравенства вида $f(x) > \sqrt{g(x)}$ необходимо, чтобы левая часть была положительной, так как правая часть ($\sqrt{x+1}$) неотрицательна. Составим систему:
$\begin{cases} x+1 \ge 0 & \text{(часть ОДЗ, уже учтено)} \\ \frac{7}{4} - 2x > 0 \\ (\frac{7}{4} - 2x)^2 > x+1 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{7}{4} > 2x \Rightarrow x < \frac{7}{8}$.

Решим третье неравенство системы:
$(\frac{7}{4} - 2x)^2 > x+1$
$\frac{49}{16} - 2 \cdot \frac{7}{4} \cdot 2x + 4x^2 > x+1$
$\frac{49}{16} - 7x + 4x^2 > x+1$
$4x^2 - 8x + \frac{49}{16} - 1 > 0$
$4x^2 - 8x + \frac{33}{16} > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 8x + \frac{33}{16} = 0$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{33}{16} = 64 - 33 = 31$.
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{31}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{31}}{8} = 1 \pm \frac{\sqrt{31}}{8}$.
Так как ветви параболы $y = 4x^2 - 8x + \frac{33}{16}$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$ и $x > 1 + \frac{\sqrt{31}}{8}$.

5. Объединим все условия в одну систему и найдем пересечение:
$\begin{cases} -1 \le x \le 3 & \text{(ОДЗ)} \\ x < \frac{7}{8} \\ x \in (-\infty, 1 - \frac{\sqrt{31}}{8}) \cup (1 + \frac{\sqrt{31}}{8}, +\infty) \end{cases}$
Пересечение первых двух условий дает $x \in [-1, \frac{7}{8})$.
Теперь найдем пересечение этого интервала с решением квадратного неравенства. Так как $5 < \sqrt{31} < 6$, то $1 + \frac{\sqrt{31}}{8} > 1 + \frac{5}{8} = \frac{13}{8}$. Поскольку $\frac{13}{8} > \frac{7}{8}$, интервал $(1 + \frac{\sqrt{31}}{8}, +\infty)$ не имеет пересечения с $[-1, \frac{7}{8})$.
Остается найти пересечение $x \in [-1, \frac{7}{8})$ и $x < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$.
Оценим $1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$: $1 - \frac{6}{8} < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8} < 1 - \frac{5}{8}$, т.е. $0.25 < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8} < 0.375$.
Это значение находится в интервале $[-1, \frac{7}{8})$. Таким образом, итоговое решение системы — это интервал, ограниченный слева $-1$ (включительно) и справа $1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$ (не включительно).

Ответ: $x \in [-1, 1 - \frac{\sqrt{31}}{8})$.