Номер 158, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 158, страница 332.
№158 (с. 332)
Условие. №158 (с. 332)
скриншот условия

158. а) $\sqrt{9+3^x-2} \ge 9-3^x$;
б) $\sqrt{x^{\log_2 \sqrt{x}}} > 2$;
в) $\log_2(\sqrt{x+3-x-1}) \le 0$;
г) $\sqrt{4^{x+1}+17-5} > 2^x$.
Решение 5. №158 (с. 332)
а)
Исходное неравенство: $\sqrt{9+3^x-2} \ge 9-3^x$.
Упростим выражение под корнем: $\sqrt{7+3^x} \ge 9-3^x$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{7+t} \ge 9-t$.
Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{A} \ge B$ равносильно совокупности двух систем:
1) $\begin{cases} 9-t < 0 \\ 7+t \ge 0 \end{cases}$
2) $\begin{cases} 9-t \ge 0 \\ 7+t \ge (9-t)^2 \end{cases}$
Решим первую систему:
$\begin{cases} t > 9 \\ t \ge -7 \end{cases} \implies t > 9$.
Решим вторую систему:
$\begin{cases} t \le 9 \\ 7+t \ge 81 - 18t + t^2 \end{cases}$
Решаем второе неравенство системы: $t^2 - 19t + 74 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 19t + 74=0$.
Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 74 = 361 - 296 = 65$.
Корни: $t_1 = \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$, $t_2 = \frac{19 + \sqrt{65}}{2}$.
Решением неравенства $t^2 - 19t + 74 \le 0$ является отрезок $[\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, \frac{19 + \sqrt{65}}{2}]$.
Учитывая условие $t \le 9$ из системы, найдем пересечение. Так как $8 < \sqrt{65} < 9$, то $\frac{19-9}{2} < \frac{19-\sqrt{65}}{2} < \frac{19-8}{2}$, то есть $5 < \frac{19-\sqrt{65}}{2} < 5.5$. A $\frac{19+\sqrt{65}}{2} > \frac{19+8}{2} = 13.5 > 9$.
Следовательно, решением второй системы является промежуток $[\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, 9]$.
Объединяя решения обеих систем и учитывая условие $t>0$, получаем: $(9, \infty) \cup [\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, 9] = [\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, \infty)$.
Таким образом, $t \ge \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$.
Производим обратную замену $t=3^x$:
$3^x \ge \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$.
Логарифмируя обе части по основанию 3 (так как $3>1$, знак неравенства сохраняется), получаем:
$x \ge \log_3\left(\frac{19 - \sqrt{65}}{2}\right)$.
Ответ: $x \in [\log_3\left(\frac{19 - \sqrt{65}}{2}\right), +\infty)$.
б)
Исходное неравенство: $\sqrt{x^{\log_2{\sqrt{x}}}} > 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ (основание степени и аргумент логарифма должны быть положительными).
Преобразуем показатель степени: $\log_2{\sqrt{x}} = \log_2{x^{1/2}} = \frac{1}{2}\log_2{x}$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{x^{\frac{1}{2}\log_2{x}}} > 2$.
Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:
$x^{\frac{1}{2}\log_2{x}} > 4$.
Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2>1$, знак неравенства сохранится.
$\log_2(x^{\frac{1}{2}\log_2{x}}) > \log_2(4)$.
Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \log_a(b)$, получаем:
$(\frac{1}{2}\log_2{x}) \cdot (\log_2{x}) > 2$.
$(\log_2{x})^2 > 4$.
Пусть $y = \log_2{x}$, тогда $y^2 > 4$, что равносильно $|y| > 2$.
Это распадается на два случая: $y > 2$ или $y < -2$.
1) $\log_2{x} > 2 \implies x > 2^2 \implies x > 4$.
2) $\log_2{x} < -2 \implies x < 2^{-2} \implies x < \frac{1}{4}$.
Объединяя решения и учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем:
$0 < x < \frac{1}{4}$ или $x > 4$.
Ответ: $x \in (0, \frac{1}{4}) \cup (4, +\infty)$.
в)
Исходное неравенство: $\log_2(\sqrt{x+3}-x-1) \le 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$\sqrt{x+3}-x-1 > 0 \implies \sqrt{x+3} > x+1$.
Также, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Решим неравенство $\sqrt{x+3} > x+1$, рассмотрев два случая для правой части:
1) Если $x+1 < 0$, т.е. $x < -1$. Неравенство верно для всех $x$, для которых определен корень. С учетом $x \ge -3$, получаем $x \in [-3, -1)$.
2) Если $x+1 \ge 0$, т.е. $x \ge -1$. Можно возвести обе части в квадрат: $x+3 > (x+1)^2 \implies x+3 > x^2+2x+1 \implies x^2+x-2 < 0$. Корнями уравнения $x^2+x-2=0$ являются $x_1=1, x_2=-2$. Решением неравенства является интервал $(-2, 1)$. Пересекая с $x \ge -1$, получаем $x \in [-1, 1)$.
Объединяя оба случая, получаем ОДЗ: $x \in [-3, 1) \cup [-1, 1) = [-3, 1)$.
Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2>1$, то неравенство равносильно следующему:
$\sqrt{x+3}-x-1 \le 2^0 \implies \sqrt{x+3}-x-1 \le 1 \implies \sqrt{x+3} \le x+2$.
Это неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \\ x+3 \le (x+2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -2 \\ x+3 \le x^2+4x+4 \end{cases}$
Из первых двух неравенств следует $x \ge -2$. Решим третье: $x^2+3x+1 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2+3x+1=0$: $D = 3^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$, $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Решением неравенства $x^2+3x+1 \ge 0$ является $x \in (-\infty, \frac{-3-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge -2$. Так как $\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \approx -2.615 < -2$ и $\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \approx -0.385 > -2$, решением системы будет $x \ge \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$.
Наконец, пересечем полученное решение с ОДЗ: $x \in [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, +\infty) \cap [-3, 1)$.
Ответ: $x \in [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, 1)$.
г)
Исходное неравенство: $\sqrt{4^{x+1}+17-5} > 2^x$.
Судя по верстке выражения в задачнике, `-5` не находится под знаком корня. Неравенство следует читать как: $\sqrt{4^{x+1}+17} - 5 > 2^x$.
Перенесем 5 в правую часть: $\sqrt{4^{x+1}+17} > 2^x + 5$.
Преобразуем выражение под корнем: $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{4t^2+17} > t+5$.
ОДЗ: $4t^2+17 > 0$, что верно для любого действительного $t$.
Так как $t > 0$, правая часть $t+5$ всегда положительна. Можно возвести обе части неравенства в квадрат:
$4t^2+17 > (t+5)^2$.
$4t^2+17 > t^2+10t+25$.
$3t^2-10t-8 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $3t^2-10t-8 = 0$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Корни: $t_1 = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$, $t_2 = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4$.
Решением неравенства $3t^2-10t-8 > 0$ является $t \in (-\infty, -2/3) \cup (4, +\infty)$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 4$.
Производим обратную замену $t=2^x$:
$2^x > 4 \implies 2^x > 2^2$.
Так как основание $2>1$, показательная функция возрастает, следовательно $x > 2$.
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 158 расположенного на странице 332 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №158 (с. 332), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.