Номер 158, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 158, страница 332.

Условие.

158. а) $\sqrt{9+3^x-2} \ge 9-3^x$;

б) $\sqrt{x^{\log_2 \sqrt{x}}} > 2$;

в) $\log_2(\sqrt{x+3-x-1}) \le 0$;

г) $\sqrt{4^{x+1}+17-5} > 2^x$.

Решение 5.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{9+3^x-2} \ge 9-3^x$.

Упростим выражение под корнем: $\sqrt{7+3^x} \ge 9-3^x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{7+t} \ge 9-t$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{A} \ge B$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 9-t < 0 \\ 7+t \ge 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 9-t \ge 0 \\ 7+t \ge (9-t)^2 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} t > 9 \\ t \ge -7 \end{cases} \implies t > 9$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} t \le 9 \\ 7+t \ge 81 - 18t + t^2 \end{cases}$

Решаем второе неравенство системы: $t^2 - 19t + 74 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 19t + 74=0$.

Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 74 = 361 - 296 = 65$.

Корни: $t_1 = \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$, $t_2 = \frac{19 + \sqrt{65}}{2}$.

Решением неравенства $t^2 - 19t + 74 \le 0$ является отрезок $[\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, \frac{19 + \sqrt{65}}{2}]$.

Учитывая условие $t \le 9$ из системы, найдем пересечение. Так как $8 < \sqrt{65} < 9$, то $\frac{19-9}{2} < \frac{19-\sqrt{65}}{2} < \frac{19-8}{2}$, то есть $5 < \frac{19-\sqrt{65}}{2} < 5.5$. A $\frac{19+\sqrt{65}}{2} > \frac{19+8}{2} = 13.5 > 9$.

Следовательно, решением второй системы является промежуток $[\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, 9]$.

Объединяя решения обеих систем и учитывая условие $t>0$, получаем: $(9, \infty) \cup [\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, 9] = [\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, \infty)$.

Таким образом, $t \ge \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$.

Производим обратную замену $t=3^x$:

$3^x \ge \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$.

Логарифмируя обе части по основанию 3 (так как $3>1$, знак неравенства сохраняется), получаем:

$x \ge \log_3\left(\frac{19 - \sqrt{65}}{2}\right)$.

Ответ: $x \in [\log_3\left(\frac{19 - \sqrt{65}}{2}\right), +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{x^{\log_2{\sqrt{x}}}} > 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ (основание степени и аргумент логарифма должны быть положительными).

Преобразуем показатель степени: $\log_2{\sqrt{x}} = \log_2{x^{1/2}} = \frac{1}{2}\log_2{x}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{x^{\frac{1}{2}\log_2{x}}} > 2$.

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$x^{\frac{1}{2}\log_2{x}} > 4$.

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2>1$, знак неравенства сохранится.

$\log_2(x^{\frac{1}{2}\log_2{x}}) > \log_2(4)$.

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \log_a(b)$, получаем:

$(\frac{1}{2}\log_2{x}) \cdot (\log_2{x}) > 2$.

$(\log_2{x})^2 > 4$.

Пусть $y = \log_2{x}$, тогда $y^2 > 4$, что равносильно $|y| > 2$.

Это распадается на два случая: $y > 2$ или $y < -2$.

1) $\log_2{x} > 2 \implies x > 2^2 \implies x > 4$.

2) $\log_2{x} < -2 \implies x < 2^{-2} \implies x < \frac{1}{4}$.

Объединяя решения и учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем:

$0 < x < \frac{1}{4}$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{4}) \cup (4, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $\log_2(\sqrt{x+3}-x-1) \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\sqrt{x+3}-x-1 > 0 \implies \sqrt{x+3} > x+1$.

Также, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Решим неравенство $\sqrt{x+3} > x+1$, рассмотрев два случая для правой части:

1) Если $x+1 < 0$, т.е. $x < -1$. Неравенство верно для всех $x$, для которых определен корень. С учетом $x \ge -3$, получаем $x \in [-3, -1)$.

2) Если $x+1 \ge 0$, т.е. $x \ge -1$. Можно возвести обе части в квадрат: $x+3 > (x+1)^2 \implies x+3 > x^2+2x+1 \implies x^2+x-2 < 0$. Корнями уравнения $x^2+x-2=0$ являются $x_1=1, x_2=-2$. Решением неравенства является интервал $(-2, 1)$. Пересекая с $x \ge -1$, получаем $x \in [-1, 1)$.

Объединяя оба случая, получаем ОДЗ: $x \in [-3, 1) \cup [-1, 1) = [-3, 1)$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2>1$, то неравенство равносильно следующему:

$\sqrt{x+3}-x-1 \le 2^0 \implies \sqrt{x+3}-x-1 \le 1 \implies \sqrt{x+3} \le x+2$.

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \\ x+3 \le (x+2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -2 \\ x+3 \le x^2+4x+4 \end{cases}$

Из первых двух неравенств следует $x \ge -2$. Решим третье: $x^2+3x+1 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2+3x+1=0$: $D = 3^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$, $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Решением неравенства $x^2+3x+1 \ge 0$ является $x \in (-\infty, \frac{-3-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge -2$. Так как $\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \approx -2.615 < -2$ и $\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \approx -0.385 > -2$, решением системы будет $x \ge \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$.

Наконец, пересечем полученное решение с ОДЗ: $x \in [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, +\infty) \cap [-3, 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, 1)$.

г)

Исходное неравенство: $\sqrt{4^{x+1}+17-5} > 2^x$.

Судя по верстке выражения в задачнике, `-5` не находится под знаком корня. Неравенство следует читать как: $\sqrt{4^{x+1}+17} - 5 > 2^x$.

Перенесем 5 в правую часть: $\sqrt{4^{x+1}+17} > 2^x + 5$.

Преобразуем выражение под корнем: $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{4t^2+17} > t+5$.

ОДЗ: $4t^2+17 > 0$, что верно для любого действительного $t$.

Так как $t > 0$, правая часть $t+5$ всегда положительна. Можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$4t^2+17 > (t+5)^2$.

$4t^2+17 > t^2+10t+25$.

$3t^2-10t-8 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2-10t-8 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

Корни: $t_1 = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$, $t_2 = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Решением неравенства $3t^2-10t-8 > 0$ является $t \in (-\infty, -2/3) \cup (4, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 4$.

Производим обратную замену $t=2^x$:

$2^x > 4 \implies 2^x > 2^2$.

Так как основание $2>1$, показательная функция возрастает, следовательно $x > 2$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.