Номер 164, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 164, страница 333.

Условие.

164. a) $|x| \sin x + x = 0;$

б) $\sqrt{\sin x - 1} + 2x = 0;$

в) $|x| \cos x - x = 0;$

г) $\left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{-x}}{2}\right)^2 = \sin \frac{x}{2}.$

Решение 3.

Решение 5.

a) $|x| \sin x + x = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев три случая.

1. Пусть $x = 0$.
Подставим $x=0$ в исходное уравнение:
$|0| \sin 0 + 0 = 0$
$0 \cdot 0 + 0 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, значит $x=0$ является корнем уравнения.

2. Пусть $x > 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x \sin x + x = 0$
$x(\sin x + 1) = 0$
Так как по условию этого случая $x > 0$, то равенство возможно только если $\sin x + 1 = 0$.
$\sin x = -1$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем корни, удовлетворяющие условию $x > 0$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k > 0 \implies 2\pi k > \frac{\pi}{2} \implies k > \frac{1}{4}$.
Следовательно, подходят все целые $k \ge 1$ ($k \in \mathbb{N}$).

3. Пусть $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x \sin x + x = 0$
$x(1 - \sin x) = 0$
Так как по условию этого случая $x < 0$, то равенство возможно только если $1 - \sin x = 0$.
$\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем корни, удовлетворяющие условию $x < 0$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 0 \implies 2\pi k < -\frac{\pi}{2} \implies k < -\frac{1}{4}$.
Следовательно, подходят все целые $k \le -1$.

Объединяя все найденные решения, получаем:
Ответ: $x=0$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{N}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \le -1$.

б) $\sqrt{\sin x - 1} + 2x = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$\sin x - 1 \ge 0$
$\sin x \ge 1$
Поскольку максимальное значение функции синус равно 1, это неравенство выполняется только в том случае, когда $\sin x = 1$.
Это означает, что выражение под корнем всегда равно нулю для любого $x$ из ОДЗ. Таким образом, ОДЗ состоит из всех $x$, для которых $\sin x = 1$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим $\sin x - 1 = 0$ в исходное уравнение:
$\sqrt{0} + 2x = 0$
$2x = 0$
$x = 0$
Теперь необходимо проверить, принадлежит ли найденный корень $x=0$ области допустимых значений. Для этого проверим, выполняется ли для него условие $\sin x = 1$.
$\sin(0) = 0$.
Так как $0 \ne 1$, то $x=0$ не входит в ОДЗ.
Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

в) $|x| \cos x - x = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев три случая.

1. Пусть $x = 0$.
Подставим $x=0$ в исходное уравнение:
$|0| \cos 0 - 0 = 0$
$0 \cdot 1 - 0 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, значит $x=0$ является корнем уравнения.

2. Пусть $x > 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x \cos x - x = 0$
$x(\cos x - 1) = 0$
Так как $x > 0$, то $\cos x - 1 = 0$.
$\cos x = 1$
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Из условия $x > 0$ следует, что $2\pi k > 0$, то есть $k > 0$. Следовательно, подходят все целые $k \ge 1$ ($k \in \mathbb{N}$).

3. Пусть $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x \cos x - x = 0$
$-x(\cos x + 1) = 0$
Так как $x < 0$, то $\cos x + 1 = 0$.
$\cos x = -1$
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Из условия $x < 0$ следует, что $\pi + 2\pi k < 0 \implies 2\pi k < -\pi \implies k < -\frac{1}{2}$.
Следовательно, подходят все целые $k \le -1$.

Объединяя все найденные решения, получаем:
Ответ: $x=0$; $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{N}$; $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \le -1$.

г) $\left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{-x}}{2}\right)^2 = \sin \frac{x}{2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными.
1. Для $\sqrt{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$.
2. Для $\sqrt{-x}$ необходимо, чтобы $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$.
Единственное число, которое одновременно удовлетворяет обоим условиям ($x \ge 0$ и $x \le 0$), это $x=0$.
Таким образом, ОДЗ уравнения состоит из одного единственного значения: $x=0$.

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения, подставив это значение в исходное выражение.
Левая часть:
$\left(\frac{\sqrt{0} + \sqrt{-0}}{2}\right)^2 = \left(\frac{0 + 0}{2}\right)^2 = 0^2 = 0$.
Правая часть:
$\sin \frac{0}{2} = \sin 0 = 0$.
Левая часть равна правой ($0=0$), следовательно, $x=0$ является решением.

Поскольку ОДЗ состоит только из одного значения, и это значение является решением, то других решений у уравнения быть не может.

Ответ: $x=0$.