Номер 163, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 163, страница 333.

Условие.

Решите уравнения (163—165).

163. a) $3 + 2 \sin 2x = \tan x + \cot x;$

б) $\tan x - \sin x = 1 - \tan x \sin x;$

в) $\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x;$

г) $\sqrt{6} \sin x - 2 \cos x = 0.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $3 + 2 \sin 2x = \tg x + \ctg x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс и котангенс определены, когда $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно условию $\sin x \cos x \neq 0$, или $\frac{1}{2}\sin 2x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя основные тригонометрические тождества:
$\tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получим $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$.
Тогда правая часть уравнения равна $\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}} = \frac{2}{\sin 2x}$.

Подставим это в исходное уравнение:
$3 + 2 \sin 2x = \frac{2}{\sin 2x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sin 2x$. С учетом ОДЗ, $y \neq 0$. Также, по определению синуса, $|y| \le 1$.
$3 + 2y = \frac{2}{y}$.

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):
$3y + 2y^2 = 2$.
$2y^2 + 3y - 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.
$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Вернемся к замене.
1) $\sin 2x = y_1 = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin 2x| \le 1$.
2) $\sin 2x = y_2 = \frac{1}{2}$. Это простейшее тригонометрическое уравнение.
$2x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{\pi k}{2}$).

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tg x - \sin x = 1 - \tg x \sin x$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:
$\tg x - \sin x - 1 + \tg x \sin x = 0$.
$(\tg x - 1) + (\tg x \sin x - \sin x) = 0$.
Вынесем общий множитель $\sin x$ из второй скобки:
$(\tg x - 1) + \sin x (\tg x - 1) = 0$.
Теперь вынесем общий множитель $(\tg x - 1)$:
$(\tg x - 1)(1 + \sin x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\tg x - 1 = 0 \implies \tg x = 1$.
$x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Эти решения входят в ОДЗ, так как $\cos(\frac{\pi}{4} + \pi n) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$.
2) $1 + \sin x = 0 \implies \sin x = -1$.
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. При этих значениях $x$, $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$. Следовательно, эти значения не входят в ОДЗ и являются посторонними корнями.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x$

Перенесем $\sin^2 x$ в правую часть:
$\sin^2 2x = \sin^2 3x - \sin^2 x$.

Воспользуемся формулой разности квадратов синусов: $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$.
$\sin^2 2x = \sin(3x-x)\sin(3x+x)$.
$\sin^2 2x = \sin(2x)\sin(4x)$.

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $\sin 2x$:
$\sin^2 2x - \sin(2x)\sin(4x) = 0$.
$\sin 2x (\sin 2x - \sin 4x) = 0$.

Получаем два случая:
1) $\sin 2x = 0$.
$2x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x - \sin 4x = 0 \implies \sin 4x = \sin 2x$.
Преобразуем разность синусов в произведение по формуле $\sin A - \sin B = 2 \sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$:
$\sin 4x - \sin 2x = 2 \sin\frac{4x-2x}{2}\cos\frac{4x+2x}{2} = 0$.
$2 \sin x \cos 3x = 0$.
Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $\cos 3x = 0$.
а) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта серия решений является подмножеством серии $x = \frac{\pi n}{2}$ (при четных $n=2k$).
б) $\cos 3x = 0$.
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все полученные решения, получаем две независимые серии корней.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{6} \sin x - 2 \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
Заметим, что если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\sin x = \pm 1$. Подставим в уравнение:
$\sqrt{6}(\pm 1) - 2(0) = \pm\sqrt{6} \neq 0$.
Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.

$\frac{\sqrt{6} \sin x}{\cos x} - \frac{2 \cos x}{\cos x} = 0$.
$\sqrt{6} \tg x - 2 = 0$.

Решим полученное уравнение относительно $\tg x$:
$\sqrt{6} \tg x = 2$.
$\tg x = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Отсюда находим $x$:
$x = \arctan(\frac{\sqrt{6}}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{\sqrt{6}}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.