Номер 168, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 168, страница 333.

Условие.

168. Докажите тождество

$a \sin x + b \cos x = A \sin (x + \varphi),$

где $\varphi$ удовлетворяет условиям:

$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, A = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, используя известные тригонометрические формулы и определения, данные в условии.

Правая часть тождества имеет вид: $A \sin (x + \phi)$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$\sin(x + \phi) = \sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi$

Подставив это разложение в правую часть тождества, получим:

$A \sin (x + \phi) = A (\sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi)$

Теперь подставим значения для $A$, $\cos \phi$ и $\sin \phi$ из условия задачи:

$A = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Выполним подстановку в выражение $A (\sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi)$:

$\sqrt{a^2 + b^2} \left( \sin x \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \cos x \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$

Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в них на множитель $\sqrt{a^2 + b^2}$:

$\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin x \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos x \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Сократим множитель $\sqrt{a^2 + b^2}$ в числителе и знаменателе каждого слагаемого:

$a \sin x + b \cos x$

Полученное выражение в точности равно левой части исходного тождества. Таким образом, мы доказали, что правая часть тождества равна левой.

Ответ: Тождество $a \sin x + b \cos x = A \sin (x + \phi)$ доказано путем преобразования его правой части с использованием формулы синуса суммы и подстановки данных в условии выражений для $A$, $\cos \phi$ и $\sin \phi$, в результате чего было получено выражение, идентичное левой части.