Номер 168, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 168, страница 333.
№168 (с. 333)
Условие. №168 (с. 333)
скриншот условия

168. Докажите тождество
$a \sin x + b \cos x = A \sin (x + \varphi),$
где $\varphi$ удовлетворяет условиям:
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, A = \sqrt{a^2 + b^2}.$
Решение 3. №168 (с. 333)

Решение 5. №168 (с. 333)
Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, используя известные тригонометрические формулы и определения, данные в условии.
Правая часть тождества имеет вид: $A \sin (x + \phi)$.
Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$\sin(x + \phi) = \sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi$
Подставив это разложение в правую часть тождества, получим:
$A \sin (x + \phi) = A (\sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi)$
Теперь подставим значения для $A$, $\cos \phi$ и $\sin \phi$ из условия задачи:
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$
$\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Выполним подстановку в выражение $A (\sin x \cos \phi + \cos x \sin \phi)$:
$\sqrt{a^2 + b^2} \left( \sin x \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \cos x \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$
Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в них на множитель $\sqrt{a^2 + b^2}$:
$\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin x \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos x \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Сократим множитель $\sqrt{a^2 + b^2}$ в числителе и знаменателе каждого слагаемого:
$a \sin x + b \cos x$
Полученное выражение в точности равно левой части исходного тождества. Таким образом, мы доказали, что правая часть тождества равна левой.
Ответ: Тождество $a \sin x + b \cos x = A \sin (x + \phi)$ доказано путем преобразования его правой части с использованием формулы синуса суммы и подстановки данных в условии выражений для $A$, $\cos \phi$ и $\sin \phi$, в результате чего было получено выражение, идентичное левой части.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 168 расположенного на странице 333 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №168 (с. 333), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.