Номер 172, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 172, страница 333.
№172 (с. 333)
Условие. №172 (с. 333)
скриншот условия

172. a) $\sin^8 x + \cos^8 x = \frac{17}{32};$
б) $\sin^{100} x + \cos^{100} x = 1.$
Решение 3. №172 (с. 333)

Решение 5. №172 (с. 333)
а) Решим уравнение $ \sin^8 x + \cos^8 x = \frac{17}{32} $.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Преобразуем левую часть уравнения, последовательно понижая степень.
Сначала найдем выражение для $ \sin^4 x + \cos^4 x $:
$ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x $.
Теперь выразим $ \sin^8 x + \cos^8 x $:
$ \sin^8 x + \cos^8 x = (\sin^4 x)^2 + (\cos^4 x)^2 = (\sin^4 x + \cos^4 x)^2 - 2 \sin^4 x \cos^4 x $.
Подставим полученное выше выражение:
$ \sin^8 x + \cos^8 x = (1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x)^2 - 2 (\sin x \cos x)^4 $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, откуда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) $.
$ \sin^8 x + \cos^8 x = \left(1 - 2 \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right)^2\right)^2 - 2 \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right)^4 $
$ = \left(1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2(2x)\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{16} \sin^4(2x) $
$ = \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x)\right)^2 - \frac{1}{8} \sin^4(2x) $
$ = 1 - \sin^2(2x) + \frac{1}{4} \sin^4(2x) - \frac{1}{8} \sin^4(2x) $
$ = 1 - \sin^2(2x) + \frac{1}{8} \sin^4(2x) $.
Теперь приравняем это выражение к правой части исходного уравнения:
$ 1 - \sin^2(2x) + \frac{1}{8} \sin^4(2x) = \frac{17}{32} $.
Сделаем замену $ y = \sin^2(2x) $. Заметим, что $ 0 \le y \le 1 $.
$ 1 - y + \frac{1}{8} y^2 = \frac{17}{32} $.
Умножим обе части на 32, чтобы избавиться от дробей:
$ 32 - 32y + 4y^2 = 17 $
$ 4y^2 - 32y + 32 - 17 = 0 $
$ 4y^2 - 32y + 15 = 0 $.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 1024 - 240 = 784 = 28^2 $.
Корни уравнения:
$ y_1 = \frac{32 - 28}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
$ y_2 = \frac{32 + 28}{2 \cdot 4} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5 $.
Корень $ y_2 = 7.5 $ не удовлетворяет условию $ 0 \le y \le 1 $, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к замене: $ \sin^2(2x) = \frac{1}{2} $.
Отсюда $ \sin(2x) = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решениями этого уравнения являются значения $ 2x $, для которых синус по модулю равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это углы вида $ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in Z $.
$ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z $.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in Z $.
б) Решим уравнение $ \sin^{100} x + \cos^{100} x = 1 $.
Мы знаем, что для любого действительного числа $ x $ выполняются неравенства $ |\sin x| \le 1 $ и $ |\cos x| \le 1 $.
Поскольку $ 0 \le \sin^2 x \le 1 $ и $ 0 \le \cos^2 x \le 1 $, то при возведении в степень, большую 1, значение не увеличится. То есть:
$ \sin^{100} x = (\sin^2 x)^{50} \le \sin^2 x $
$ \cos^{100} x = (\cos^2 x)^{50} \le \cos^2 x $.
Сложим эти два неравенства:
$ \sin^{100} x + \cos^{100} x \le \sin^2 x + \cos^2 x $.
Так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:
$ \sin^{100} x + \cos^{100} x \le 1 $.
В исходном уравнении дано, что $ \sin^{100} x + \cos^{100} x = 1 $. Это означает, что в полученном нами неравенстве должно достигаться равенство. Равенство возможно только в том случае, когда оба исходных неравенства также обращаются в равенства:
$ \begin{cases} \sin^{100} x = \sin^2 x \\ \cos^{100} x = \cos^2 x \end{cases} $
Равенство $ a^{50} = a $ для $ a \in [0, 1] $ (где $ a = \sin^2 x $ или $ a = \cos^2 x $) выполняется только если $ a=0 $ или $ a=1 $.
Таким образом, система сводится к двум возможным случаям:
1) $ \sin^2 x = 1 $ и $ \cos^2 x = 0 $. Из $ \sin^2 x = 1 $ следует, что $ \sin x = \pm 1 $, что соответствует $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z $.
2) $ \sin^2 x = 0 $ и $ \cos^2 x = 1 $. Из $ \cos^2 x = 1 $ следует, что $ \cos x = \pm 1 $, что соответствует $ x = \pi k, \quad k \in Z $.
Объединяя оба случая, мы получаем все точки на тригонометрической окружности, которые являются концами четвертей: $ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \dots $
Эту серию решений можно записать одной формулой:
$ x = \frac{\pi m}{2}, \quad m \in Z $.
Ответ: $ x = \frac{\pi m}{2}, \quad m \in Z $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 172 расположенного на странице 333 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №172 (с. 333), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.