Номер 170, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 170, страница 333.

Условие.

170. $\sqrt{2} (\sin x + \cos x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x.$

Решение 3.

Решение 5.

Решим тригонометрическое уравнение $\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит функции $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$, которые определены не для всех $x$. Для $\operatorname{tg} x$ необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$. Для $\operatorname{ctg} x$ необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$. Объединяя эти условия, получаем, что $\sin x \cos x \neq 0$. Используя формулу синуса двойного угла, это можно записать как $\frac{1}{2}\sin(2x) \neq 0$, откуда $x \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения: $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.

Для дальнейшего решения удобно ввести замену. Пусть $t = \sin x + \cos x$. Возведем это выражение в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$. Отсюда можно выразить произведение $\sin x \cos x$: $2\sin x \cos x = t^2 - 1 \implies \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение: Левая часть: $\sqrt{2}(\sin x + \cos x) = \sqrt{2}t$. Правая часть: $\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{(t^2 - 1)/2} = \frac{2}{t^2 - 1}$.

Приравняем левую и правую части, выраженные через $t$: $\sqrt{2}t = \frac{2}{t^2 - 1}$. Условие ОДЗ ($\sin x \cos x \neq 0$) в терминах $t$ означает, что $\frac{t^2 - 1}{2} \neq 0$, то есть $t^2 \neq 1$, или $t \neq \pm 1$.

Решим полученное алгебраическое уравнение относительно $t$: $\sqrt{2}t(t^2 - 1) = 2$ $t(t^2 - 1) = \frac{2}{\sqrt{2}}$ $t^3 - t = \sqrt{2}$ $t^3 - t - \sqrt{2} = 0$.

Заметим, что выражение $t = \sin x + \cos x$ можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла: $t = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Отсюда следует, что область значений для $t$ — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Попробуем подставить в кубическое уравнение $t = \sqrt{2}$: $(\sqrt{2})^3 - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 0$. Следовательно, $t = \sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Чтобы найти другие возможные корни, разделим многочлен $t^3 - t - \sqrt{2}$ на $(t - \sqrt{2})$: $(t - \sqrt{2})(t^2 + \sqrt{2}t + 1) = 0$. Рассмотрим квадратное уравнение $t^2 + \sqrt{2}t + 1 = 0$. Найдем его дискриминант: $D = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2 - 4 = -2$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у квадратного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, единственное действительное решение для $t$ — это $t = \sqrt{2}$. Это значение принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ и удовлетворяет условию $t \neq \pm 1$.

Теперь выполним обратную замену: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$. Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = 1$. Заметив, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$, свернем левую часть по формуле синуса суммы: $\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = 1$ $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является: $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяет ли найденная серия корней ОДЗ ($x \neq \frac{\pi n}{2}$). Если $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, то $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$ и $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$. Следовательно, решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.