Номер 169, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 169, страница 333.

Условие.

Решите уравнения (169–175).

169. a) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 1 $;

б) $ 2 \sin x + 3 \cos x = 4 $.

Решение 5.

а) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 1$

Данное уравнение является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ и $c=1$.

Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Для этого разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2}$.

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Разделив уравнение на 2, получим:

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ являются значениями косинуса и синуса известного угла. В частности, $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{3}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x = \frac{1}{2}$

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение находится по формуле:

$x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

Перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin x + 3 \cos x = 4$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=2$, $b=3$ и $c=4$.

Для решения уравнений такого вида можно использовать оценку множества значений левой части. Известно, что для любых $x$ выражение $a \sin x + b \cos x$ принимает значения из отрезка $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Найдем наибольшее и наименьшее значения для левой части уравнения $2 \sin x + 3 \cos x$:

$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется двойное неравенство:

$-\sqrt{13} \le 2 \sin x + 3 \cos x \le \sqrt{13}$

Теперь сравним правую часть исходного уравнения, число 4, с найденным максимальным значением $\sqrt{13}$.

Возведем оба числа в квадрат: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{13})^2 = 13$.

Так как $16 > 13$, то $4 > \sqrt{13}$.

Это означает, что правая часть уравнения (равная 4) больше, чем максимальное возможное значение левой части (равное $\sqrt{13}$). Следовательно, равенство $2 \sin x + 3 \cos x = 4$ невозможно ни при каком значении $x$.

Ответ: решений нет.