Номер 161, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 161, страница 332.

Условие.

161. a) $\left\{ \begin{array}{l} x^2 - y \sqrt{xy} = 36, \\ y^2 - x \sqrt{xy} = 72; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2}, \\ xy - x - y = 0. \end{array} \right.$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y\sqrt{xy} = 36 \\ y^2 - x\sqrt{xy} = 72 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $xy \ge 0$. Это означает, что переменные $x$ и $y$ должны быть одного знака или хотя бы одна из них должна быть равна нулю.

Проверим случай, когда одна из переменных равна нулю. Если $x = 0$, первое уравнение принимает вид $0 - y\sqrt{0} = 36$, то есть $0 = 36$, что является противоречием. Если $y = 0$, второе уравнение дает $0 - x\sqrt{0} = 72$, то есть $0 = 72$, что также является противоречием. Следовательно, $x \ne 0$ и $y \ne 0$, а значит, $x$ и $y$ должны иметь одинаковый знак.

Рассмотрим случай, когда $x > 0$ и $y > 0$. В этом случае можно сделать замену $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u > 0, v > 0$. Система уравнений примет вид: $ \begin{cases} u^4 - v^2\sqrt{u^2v^2} = 36 \\ v^4 - u^2\sqrt{u^2v^2} = 72 \end{cases} $ , что упрощается до $ \begin{cases} u^4 - v^2(uv) = 36 \implies u(u^3 - v^3) = 36 \\ v^4 - u^2(uv) = 72 \implies v(v^3 - u^3) = 72 \end{cases} $ .

Пусть $D = u^3 - v^3$. Тогда система выглядит как $uD = 36$ и $v(-D) = 72$. Из этих уравнений выразим $D$: $D = 36/u$ и $D = -72/v$. Приравнивая выражения для $D$, получаем $36/u = -72/v$, откуда $v = -2u$. Поскольку по определению $u > 0$ и $v > 0$, это уравнение не имеет решений. Таким образом, у системы нет решений при $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим случай, когда $x < 0$ и $y < 0$. Сделаем замену $x = -a$ и $y = -b$, где $a > 0$ и $b > 0$. Система примет вид: $ \begin{cases} (-a)^2 - (-b)\sqrt{(-a)(-b)} = 36 \implies a^2 + b\sqrt{ab} = 36 \\ (-b)^2 - (-a)\sqrt{(-a)(-b)} = 72 \implies b^2 + a\sqrt{ab} = 72 \end{cases} $ .

Так как правые части уравнений не равны нулю, мы можем поделить второе уравнение на первое: $\frac{b^2 + a\sqrt{ab}}{a^2 + b\sqrt{ab}} = \frac{72}{36} = 2$.

Отсюда $b^2 + a\sqrt{ab} = 2(a^2 + b\sqrt{ab})$, что равносильно $b^2 + a\sqrt{ab} = 2a^2 + 2b\sqrt{ab}$, или $b^2 - 2a^2 = b\sqrt{ab}$. Это уравнение является однородным. Чтобы его решить, можно переписать его как $b^2 + a^{3/2}b^{1/2} = 2a^2 + 2a^{1/2}b^{3/2}$. Разделим обе части на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$): $(\frac{b}{a})^2 + \sqrt{\frac{b}{a}} = 2 + 2(\frac{b}{a})\sqrt{\frac{b}{a}}$.

Введем замену $t = b/a$, где $t > 0$. Уравнение примет вид $t^2 + \sqrt{t} = 2 + 2t\sqrt{t}$. Перегруппируем члены: $t^2 - 2 = \sqrt{t}(2t - 1)$. Для решения возведем обе части в квадрат (потребуется проверка на посторонние корни): $(t^2-2)^2 = t(2t-1)^2 \implies t^4 - 4t^2 + 4 = t(4t^2 - 4t + 1) \implies t^4 - 4t^2 + 4 = 4t^3 - 4t^2 + t$.

Это приводит к уравнению $t^4 - 4t^3 - t + 4 = 0$. Разложим левую часть на множители: $t^3(t-4) - (t-4) = 0 \implies (t-4)(t^3-1) = 0 \implies (t-4)(t-1)(t^2+t+1)=0$. Так как $t^2+t+1 > 0$ для всех действительных $t$, получаем два возможных решения: $t=4$ или $t=1$.

Проверим эти корни в уравнении до возведения в квадрат: $t^2 - 2 = \sqrt{t}(2t - 1)$.
Для $t=1$: $1^2 - 2 = -1$, а $\sqrt{1}(2 \cdot 1 - 1) = 1$. Так как $-1 \ne 1$, $t=1$ — посторонний корень.
Для $t=4$: $4^2 - 2 = 14$, а $\sqrt{4}(2 \cdot 4 - 1) = 2(7) = 14$. Так как $14=14$, $t=4$ — истинный корень.

Итак, $b/a = 4$, то есть $b=4a$. Подставим это соотношение в первое уравнение системы для $a, b$: $a^2 + (4a)\sqrt{a(4a)} = 36 \implies a^2 + 4a\sqrt{4a^2} = 36$. Так как $a>0$, $\sqrt{4a^2}=2a$. Получаем $a^2 + 4a(2a) = 36 \implies a^2 + 8a^2 = 36 \implies 9a^2 = 36 \implies a^2 = 4$. Так как $a>0$, $a=2$. Тогда $b=4a=8$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем $x=-a=-2$ и $y=-b=-8$.

Ответ: $(-2, -8)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2} \\ xy - x - y = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что выражения под корнями должны быть положительными: $\frac{6x}{x+y} > 0$. Это означает, что $x \ne 0$ и $x+y \ne 0$.

Сделаем замену в первом уравнении: пусть $t = \sqrt{\frac{6x}{x+y}}$. Так как выражение под корнем положительно, $t > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.

Домножим на $2t$ (так как $t \ne 0$): $2t^2 + 2 = 5t \implies 2t^2 - 5t + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение для $t$: $t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = \frac{8}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим оба случая:
1) Если $t = 2$, то $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = 2 \implies \frac{6x}{x+y} = 4 \implies 6x = 4x + 4y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$.
2) Если $t = 1/2$, то $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{6x}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 24x = x + y \implies 23x = y$.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $xy - x - y = 0$. Его можно преобразовать, прибавив 1 к обеим частям: $xy - x - y + 1 = 1 \implies (x-1)(y-1) = 1$.

Подставим в это уравнение найденные соотношения между $x$ и $y$:
1) Для $x=2y$: $(2y-1)(y-1) = 1 \implies 2y^2 - 3y + 1 = 1 \implies 2y^2 - 3y = 0 \implies y(2y-3) = 0$. Поскольку $x \ne 0$, то и $y \ne 0$. Следовательно, $y=0$ не является решением. Остается $2y-3=0 \implies y=3/2$. Тогда $x=2y=2(3/2)=3$. Получили решение $(3, 3/2)$.
2) Для $y=23x$: $(x-1)(23x-1) = 1 \implies 23x^2 - 24x + 1 = 1 \implies 23x^2 - 24x = 0 \implies x(23x-24)=0$. Так как $x \ne 0$, остается $23x-24=0 \implies x=24/23$. Тогда $y=23x=23(24/23)=24$. Получили решение $(24/23, 24)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ, так как в обоих случаях $x > 0$ и $y > 0$, что обеспечивает $\frac{6x}{x+y} > 0$.

Ответ: $(3, 3/2), (24/23, 24)$.