Номер 160, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 160, страница 332.

Условие.

160. a) $\begin{cases}\sqrt[3]{x+2y} + \sqrt[3]{x-y+2} = 3, \\2x+y = 7;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2+2y + \sqrt{x^2+2y+1} = 1 \\2x+y = 2;\end{cases}$

в) $\begin{cases}x-y + \sqrt{x^2-4y^2} = 2, \\x^5 \sqrt{x^2-4y^2} = 0;\end{cases}$

г) $\begin{cases}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{y}} = \frac{1}{6}, \\\sqrt[3]{xy} = 6.\end{cases}$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x+2y} + \sqrt[3]{x-y+2} = 3 \\ 2x+y=7 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 7 - 2x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\sqrt[3]{x+2(7-2x)} + \sqrt[3]{x-(7-2x)+2} = 3$

$\sqrt[3]{x+14-4x} + \sqrt[3]{x-7+2x+2} = 3$

$\sqrt[3]{14-3x} + \sqrt[3]{3x-5} = 3$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{14-3x}$ и $b = \sqrt[3]{3x-5}$.

Тогда уравнение примет вид $a+b=3$.

Также найдем сумму кубов наших переменных:

$a^3 = 14-3x$

$b^3 = 3x-5$

$a^3 + b^3 = (14-3x) + (3x-5) = 9$.

Получим систему уравнений для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a+b=3 \\ a^3+b^3=9 \end{cases} $$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$9 = 3(a^2-ab+b^2)$

$a^2-ab+b^2=3$

Выразим $a^2+b^2$ из $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Так как $a+b=3$, то $a^2+2ab+b^2=9$.

Подставим $a^2+b^2=9-2ab$ в уравнение $a^2-ab+b^2=3$:

$(9-2ab)-ab=3$

$9-3ab=3$

$3ab=6 \implies ab=2$.

Теперь решаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=3 \\ ab=2 \end{cases} $$

По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2-3t+2=0$.

Корни этого уравнения $t_1=1$ и $t_2=2$.

Рассмотрим два случая:

1. $a=1, b=2$.

$\sqrt[3]{14-3x}=1 \implies 14-3x=1 \implies 3x=13 \implies x=\frac{13}{3}$.

Находим $y$: $y = 7 - 2(\frac{13}{3}) = \frac{21-26}{3} = -\frac{5}{3}$.

Первое решение: $(\frac{13}{3}, -\frac{5}{3})$.

2. $a=2, b=1$.

$\sqrt[3]{14-3x}=2 \implies 14-3x=8 \implies 3x=6 \implies x=2$.

Находим $y$: $y = 7 - 2(2) = 7-4 = 3$.

Второе решение: $(2, 3)$.

Проверка показывает, что оба решения верны.

Ответ: $(2, 3)$, $(\frac{13}{3}, -\frac{5}{3})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2+2y+\sqrt{x^2+2y+1} = 1 \\ 2x+y=2 \end{cases} $$

В первом уравнении сделаем замену. Пусть $t = x^2+2y$.

Уравнение примет вид: $t + \sqrt{t+1} = 1$.

Перенесем $t$ в правую часть: $\sqrt{t+1} = 1 - t$.

Область допустимых значений для этого уравнения: $t+1 \ge 0 \implies t \ge -1$ и $1-t \ge 0 \implies t \le 1$. Таким образом, $-1 \le t \le 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$t+1 = (1-t)^2 = 1 - 2t + t^2$.

$t^2 - 3t = 0$.

$t(t-3) = 0$.

Получаем два возможных значения для $t$: $t_1=0$ и $t_2=3$.

Проверяем по условию $-1 \le t \le 1$. Корень $t=3$ не подходит. Остается только $t=0$.

Значит, $x^2+2y=0$.

Теперь решаем новую, более простую систему:

$$ \begin{cases} x^2+2y=0 \\ 2x+y=2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выражаем $y = 2 - 2x$ и подставляем в первое:

$x^2 + 2(2-2x) = 0$.

$x^2 - 4x + 4 = 0$.

Это полный квадрат: $(x-2)^2 = 0$.

Отсюда $x=2$.

Находим $y$: $y = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$.

Проверка: $2(2)+(-2)=2$, $2^2+2(-2)+\sqrt{2^2+2(-2)+1} = 4-4+\sqrt{1}=1$. Решение верное.

Ответ: $(2, -2)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y + \sqrt{x^2 - 4y^2} = 2 \\ x^5 \sqrt{x^2 - 4y^2} = 0 \end{cases} $$

Рассмотрим второе уравнение. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Также должно выполняться условие $x^2 - 4y^2 \ge 0$.

Случай 1: $x^5 = 0 \implies x=0$.

Подставим $x=0$ в условие $x^2 - 4y^2 \ge 0$:

$0^2 - 4y^2 \ge 0 \implies -4y^2 \ge 0$.

Это неравенство выполняется только при $y=0$.

Проверим пару $(0, 0)$ в первом уравнении:

$0 - 0 + \sqrt{0^2 - 4(0)^2} = 0$.

Получили $0=2$, что неверно. Значит, $(0,0)$ не является решением.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$.

Отсюда следует, что $x^2 - 4y^2 = 0$, или $x^2 = 4y^2$, что дает $x=2y$ или $x=-2y$.

Подставим $\sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$ в первое уравнение системы:

$x - y + 0 = 2 \implies x-y=2$.

Теперь нужно решить две системы:

Подслучай 2а: $$ \begin{cases} x-y=2 \\ x=2y \end{cases} $$

Подставляем второе в первое: $2y-y=2 \implies y=2$.

Тогда $x=2y=4$.

Получили решение $(4, 2)$. Проверка: $4^2-4(2^2)=16-16=0$, условие выполнено. $4-2+\sqrt{0}=2$, верно. $4^5\sqrt{0}=0$, верно.

Подслучай 2б: $$ \begin{cases} x-y=2 \\ x=-2y \end{cases} $$

Подставляем второе в первое: $-2y-y=2 \implies -3y=2 \implies y=-\frac{2}{3}$.

Тогда $x=-2y = -2(-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$.

Получили решение $(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$. Проверка: $(\frac{4}{3})^2-4(-\frac{2}{3})^2=\frac{16}{9}-4(\frac{4}{9})=0$, условие выполнено. $\frac{4}{3}-(-\frac{2}{3})+\sqrt{0}=\frac{6}{3}=2$, верно. $(\frac{4}{3})^5\sqrt{0}=0$, верно.

Ответ: $(4, 2)$, $(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{y}} = \frac{1}{6} \\ \sqrt[3]{xy} = 6 \end{cases} $$

Введем новые переменные: $a = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ и $b = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$.

Тогда первое уравнение примет вид: $a - b = \frac{1}{6}$.

Преобразуем второе уравнение. $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}$.

Из наших замен имеем $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{a}$ и $\sqrt[3]{y} = \frac{1}{b}$.

Тогда второе уравнение: $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = 6 \implies \frac{1}{ab} = 6 \implies ab = \frac{1}{6}$.

Получаем систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a-b = \frac{1}{6} \\ ab = \frac{1}{6} \end{cases} $$

Из первого уравнения $a = b + \frac{1}{6}$. Подставляем во второе:

$(b + \frac{1}{6})b = \frac{1}{6}$

$b^2 + \frac{1}{6}b - \frac{1}{6} = 0$

Умножим на 6, чтобы избавиться от дробей: $6b^2 + b - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = 1^2 - 4(6)(-1) = 1+24=25$.

$b = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 5}{12}$.

$b_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $b_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.

Находим соответствующие значения $a$:

1. Если $b = \frac{1}{3}$, то $a = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $a = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \implies \sqrt[3]{x}=2 \implies x=8$.

$b = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} \implies \sqrt[3]{y}=3 \implies y=27$.

Первое решение: $(8, 27)$.

2. Если $b = -\frac{1}{2}$, то $a = -\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{-3+1}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $a = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \implies -\frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \implies \sqrt[3]{x}=-3 \implies x=-27$.

$b = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} \implies -\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} \implies \sqrt[3]{y}=-2 \implies y=-8$.

Второе решение: $(-27, -8)$.

Оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(8, 27)$, $(-27, -8)$.