Номер 150, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 150, страница 331.

Условие.

150. a) $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}$

б) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$

Решение 5.

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы использовать тождество для суммы трех чисел:
$\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} - \sqrt[3]{x-1} = 0$.

Воспользуемся известным тождеством: если $a+b+c=0$, то $a^3+b^3+c^3=3abc$.
Пусть $a = \sqrt[3]{x+1}$, $b = \sqrt[3]{3x+1}$ и $c = -\sqrt[3]{x-1}$.
Тогда $a^3 = x+1$, $b^3 = 3x+1$ и $c^3 = -(\sqrt[3]{x-1})^3 = -(x-1) = 1-x$.

Подставляем эти выражения в тождество:

$(x+1) + (3x+1) + (1-x) = 3(\sqrt[3]{x+1})(\sqrt[3]{3x+1})(-\sqrt[3]{x-1})$

Упрощаем обе части уравнения:

$3x+3 = -3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}$

Разделим обе части на 3:

$x+1 = -\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}$

Для избавления от кубического корня возведем обе части уравнения в куб:

$(x+1)^3 = -((x+1)(x-1)(3x+1))$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x+1)$:

$(x+1)^3 + (x+1)(x-1)(3x+1) = 0$
$(x+1) \cdot [(x+1)^2 + (x-1)(3x+1)] = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x+1=0 \implies x=-1$.

2. $(x+1)^2 + (x-1)(3x+1) = 0$. Раскроем скобки:
$(x^2+2x+1) + (3x^2+x-3x-1) = 0$
$x^2+2x+1 + 3x^2-2x-1 = 0$
$4x^2 = 0 \implies x=0$.

Использование тождества $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0$ может приводить к появлению посторонних корней (в случае, когда $a+b+c \neq 0$, но $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$). Поэтому необходима проверка найденных корней.

Проверка:
При $x=-1$:
$\sqrt[3]{-1+1} + \sqrt[3]{3(-1)+1} = \sqrt[3]{-1-1}$
$\sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{-2}$
$\sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{-2}$.
Равенство верное, значит $x=-1$ является корнем.

При $x=0$:
$\sqrt[3]{0+1} + \sqrt[3]{3(0)+1} = \sqrt[3]{0-1}$
$\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{-1}$
$1 + 1 = -1$
$2 = -1$.
Равенство неверное, значит $x=0$ — посторонний корень.

Ответ: $x=-1$.

б)

Дано уравнение: $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$.

Аналогично пункту а), перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} - \sqrt[3]{x-8} = 0$ и воспользуемся тождеством $a+b+c=0 \implies a^3+b^3+c^3=3abc$.

Пусть $a=\sqrt[3]{x}$, $b=\sqrt[3]{x-16}$, $c=-\sqrt[3]{x-8}$.
Тогда $a^3=x$, $b^3=x-16$, $c^3=-(x-8)=8-x$.

Подставим в тождество:

$x + (x-16) + (8-x) = 3(\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x-16})(-\sqrt[3]{x-8})$

Упростим:

$x-8 = -3\sqrt[3]{x(x-16)(x-8)}$

Возведем обе части в куб:

$(x-8)^3 = (-3)^3 \cdot x(x-16)(x-8)$
$(x-8)^3 = -27x(x-16)(x-8)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x-8)$:

$(x-8)^3 + 27x(x-16)(x-8) = 0$
$(x-8)[(x-8)^2 + 27x(x-16)] = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $x-8=0 \implies x=8$.

2. $(x-8)^2 + 27x(x-16) = 0$. Раскроем скобки:
$x^2-16x+64 + 27x^2-432x = 0$
$28x^2 - 448x + 64 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$7x^2 - 112x + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-112)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 16 = 12544 - 448 = 12096$.

$\sqrt{D} = \sqrt{12096} = \sqrt{576 \cdot 21} = 24\sqrt{21}$.

Находим корни:

$x = \frac{112 \pm 24\sqrt{21}}{2 \cdot 7} = \frac{112 \pm 24\sqrt{21}}{14} = \frac{56 \pm 12\sqrt{21}}{7}$.

Таким образом, мы получили три потенциальных корня: $x_1=8$, $x_2=\frac{56 + 12\sqrt{21}}{7}$, $x_3=\frac{56 - 12\sqrt{21}}{7}$.

В данном случае, в отличие от пункта а), проверка не является строго необходимой. Уравнение $a^3+b^3+c^3-3abc=0$ равносильно $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$. Второй множитель равен нулю только при $a=b=c$ (для действительных чисел). В нашем случае условие $a=b$ означает $\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x-16}$, что приводит к неверному равенству $x=x-16$, или $0=-16$. Так как случай $a=b=c$ невозможен, то уравнение $a^3+b^3+c^3=3abc$ равносильно исходному уравнению $a+b+c=0$. Следовательно, все три найденных корня являются решениями.

Ответ: $x_1=8$, $x_2=\frac{56 + 12\sqrt{21}}{7}$, $x_3=\frac{56 - 12\sqrt{21}}{7}$.