Номер 146, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 146, страница 331.

Условие.

146. a) $\sqrt{1 + \cos x} = \sin x;$

Б) $\sqrt{4 - 3 \cos x} = -2 \cos x;$

б) $\sqrt{1 - 2 \cos x} = \sin x;$

Г) $\sqrt{2 \sin 2x} = -2 \sin x.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sqrt{1 + \cos x} = \sin x$

Данное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} \sin x \ge 0, \\ 1 + \cos x = \sin^2 x. \end{cases} $$ Первое условие, $\sin x \ge 0$, является областью допустимых значений (ОДЗ), так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Второе условие, $1 + \cos x \ge 0$, выполняется для всех $x$, так как $-1 \le \cos x \le 1$.

Решим второе уравнение системы: $1 + \cos x = \sin^2 x$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $1 + \cos x = 1 - \cos^2 x$ $\cos^2 x + \cos x = 0$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $\cos x (1 + \cos x) = 0$ Это уравнение распадается на два: 1) $\cos x = 0$ 2) $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $\sin x \ge 0$.

1) Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (нечетные четверти), $\sin x = 1$. Так как $1 \ge 0$, эти корни подходят.
При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (четные четверти), $\sin x = -1$. Так как $-1 < 0$, эти корни не подходят. Следовательно, из этой группы корней подходит только $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Если $\cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
При этих значениях $x$, $\sin x = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$. Так как $0 \ge 0$, эти корни подходят.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pi + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{1 - 2 \cos x} = \sin x$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x \ge 0, \\ 1 - 2 \cos x \ge 0, \\ 1 - 2 \cos x = \sin^2 x. \end{cases} $$ Из второго неравенства получаем $\cos x \le \frac{1}{2}$.

Решим уравнение $1 - 2 \cos x = \sin^2 x$. Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $1 - 2 \cos x = 1 - \cos^2 x$ $\cos^2 x - 2 \cos x = 0$ $\cos x (\cos x - 2) = 0$ Получаем два случая: 1) $\cos x = 0$ 2) $\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\cos x| \le 1$.

Рассмотрим случай $\cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим эти решения по условиям ОДЗ: $\sin x \ge 0$ и $\cos x \le \frac{1}{2}$.
Условие $\cos x = 0$ удовлетворяет неравенству $0 \le \frac{1}{2}$.

Проверим условие $\sin x \ge 0$:
При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\sin x = 1$. Так как $1 \ge 0$, эти корни подходят.
При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $\sin x = -1$. Так как $-1 < 0$, эти корни не подходят.

Следовательно, решением является только одна серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{4 - 3 \cos x} = -2 \cos x$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} -2 \cos x \ge 0, \\ 4 - 3 \cos x = (-2 \cos x)^2. \end{cases} $$ Подкоренное выражение $4 - 3 \cos x$ всегда положительно, так как $-1 \le \cos x \le 1 \implies -3 \le 3 \cos x \le 3 \implies 1 \le 4 - 3 \cos x \le 7$.

Из первого неравенства системы получаем ОДЗ: $\cos x \le 0$.

Решим второе уравнение: $4 - 3 \cos x = 4 \cos^2 x$ $4 \cos^2 x + 3 \cos x - 4 = 0$ Сделаем замену $t = \cos x$. Учитываем, что $-1 \le t \le 1$ и $t \le 0$. $4t^2 + 3t - 4 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения по формуле: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 9 + 64 = 73$ $t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8}$

Рассмотрим каждый корень: 1) $t_1 = \frac{-3 + \sqrt{73}}{8}$. Так как $\sqrt{73} \approx 8.5$, то $t_1 \approx \frac{-3 + 8.5}{8} = \frac{5.5}{8} > 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \le 0$.

2) $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{73}}{8}$. Так как $8 < \sqrt{73} < 9$, то $-3 - 9 < -3 - \sqrt{73} < -3 - 8$, что дает $-12 < -3 - \sqrt{73} < -11$. Тогда $\frac{-12}{8} < t_2 < \frac{-11}{8}$, или $-1.5 < t_2 < -1.375$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$, так как $t_2 < -1$.

Так как ни один из корней квадратного уравнения не является допустимым значением для $\cos x$, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $\sqrt{2 \sin 2x} = -2 \sin x$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} -2 \sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0, \\ 2 \sin 2x \ge 0 \implies \sin 2x \ge 0, \\ 2 \sin 2x = (-2 \sin x)^2. \end{cases} $$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Решим уравнение $2(2 \sin x \cos x) = 4 \sin^2 x$: $4 \sin x \cos x = 4 \sin^2 x$ $4 \sin x \cos x - 4 \sin^2 x = 0$ $4 \sin x (\cos x - \sin x) = 0$ Это уравнение распадается на два: 1) $\sin x = 0$ 2) $\cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x$

Проверим решения на соответствие ОДЗ: $\sin x \le 0$ и $\sin 2x \ge 0$.

1) Если $\sin x = 0$, то $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверка ОДЗ: $\sin(\pi n) = 0$, что удовлетворяет условию $\sin x \le 0$. $\sin(2\pi n) = 0$, что удовлетворяет условию $\sin 2x \ge 0$. Следовательно, $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ является решением.

2) Если $\cos x = \sin x$, то $\text{tg } x = 1$ (при $\cos x \ne 0$). Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ $\sin x \le 0$: - Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m$ (первая четверть), $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Не подходит. - Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$ (третья четверть), $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Подходит. Теперь для серии $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$ проверим второе условие ОДЗ $\sin 2x \ge 0$: $2x = 2(\frac{5\pi}{4} + 2\pi m) = \frac{5\pi}{2} + 4\pi m$. $\sin(2x) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 4\pi m) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Так как $1 \ge 0$, это условие выполняется. Следовательно, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ является решением.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.