Страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Постройте график каждой из функций (84–85).

84. a) $y = \{1.5x - 1\}$;

б) $y = \frac{12 + x - x^2}{x^2 - 16}$;

в) $y = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\cos x}$;

г) $y = \frac{\sqrt{1 + 2x + x^2}}{x+1}$.

а)

Рассмотрим функцию $y = \{1,5x - 1\}$. Фигурные скобки обозначают дробную часть числа, которая определяется как $\{z\} = z - \lfloor z \rfloor$, где $\lfloor z \rfloor$ — целая часть числа (наибольшее целое число, не превосходящее $z$).
1. Область значений. По определению дробной части, область значений функции $y$ — это промежуток $[0, 1)$.
2. Нули функции. Функция обращается в нуль, когда выражение под знаком дробной части является целым числом. $1,5x - 1 = n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$1,5x = n + 1$
$x = \frac{n+1}{1,5} = \frac{2(n+1)}{3}$.
Таким образом, график пересекает ось Ox в точках $x = \frac{2(n+1)}{3}$ для всех целых $n$. Например, при $n=-1, 0, 1, 2, ...$ получаем точки $x=0, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, 2, ...$
3. Поведение функции. Рассмотрим интервал между двумя последовательными нулями, например, от $x_n = \frac{2(n+1)}{3}$ до $x_{n+1} = \frac{2(n+2)}{3}$. Длина этого интервала равна $\frac{2}{3}$.
Для всех $x$ из полуинтервала $[\frac{2(n+1)}{3}, \frac{2(n+2)}{3})$ выполняется неравенство $n \le 1,5x - 1 < n+1$. Следовательно, на этом полуинтервале целая часть $\lfloor 1,5x - 1 \rfloor = n$.
Тогда функция принимает вид: $y = (1,5x - 1) - n$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $1,5$.
- В начале интервала, при $x = \frac{2(n+1)}{3}$, имеем $y = 1,5 \cdot \frac{2(n+1)}{3} - 1 - n = (n+1) - 1 - n = 0$. - В конце интервала, при $x \to \frac{2(n+2)}{3}$, значение $y$ стремится к $1,5 \cdot \frac{2(n+2)}{3} - 1 - n = (n+2) - 1 - n = 1$.
4. Построение графика. График функции состоит из бесконечного числа параллельных отрезков прямых с угловым коэффициентом $1,5$. Каждый отрезок начинается в точке $(\frac{2k}{3}, 0)$ (включая эту точку) и заканчивается в точке $(\frac{2(k+1)}{3}, 1)$ (не включая эту точку), где $k$ — любое целое число. Получается "пилообразный" график.

Ответ: График функции представляет собой совокупность параллельных отрезков. Каждый отрезок начинается на оси Ox в точке вида $(\frac{2k}{3}, 0)$ (где $k \in \mathbb{Z}$), имеет угловой коэффициент $1,5$ и заканчивается, не достигая прямой $y=1$. Точки вида $(\frac{2k}{3}, 0)$ принадлежат графику, а точки вида $(\frac{2(k+1)}{3}, 1)$ — не принадлежат.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{12 + x - x^2}{x^2 - 16}$.
1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 16 \neq 0 \implies (x-4)(x+4) \neq 0$. Отсюда $x \neq 4$ и $x \neq -4$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; \infty)$.
2. Упрощение функции. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $12 + x - x^2 = -(x^2 - x - 12)$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 12=0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Тогда $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$, а числитель равен $-(x-4)(x+3)$.
Знаменатель: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.
Подставим в исходную функцию: $y = \frac{-(x-4)(x+3)}{(x-4)(x+4)}$.
При $x \neq 4$ можно сократить дробь на $(x-4)$: $y = -\frac{x+3}{x+4}$.
3. Анализ упрощенной функции. Функция $y = -\frac{x+3}{x+4}$ является дробно-линейной, её график — гипербола. Преобразуем выражение: $y = -\frac{(x+4)-1}{x+4} = -(1 - \frac{1}{x+4}) = \frac{1}{x+4} - 1$.
График этой функции получается из графика $y = 1/x$ сдвигом на 4 единицы влево и на 1 единицу вниз.
- Вертикальная асимптота: $x+4=0 \implies x=-4$. - Горизонтальная асимптота: $y=-1$.
4. Особая точка. Исходная функция не определена в точке $x=4$. Найдем значение, которое принимала бы упрощенная функция в этой точке: $y(4) = \frac{1}{4+4} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8}$.
Следовательно, на графике исходной функции в точке с абсциссой $x=4$ будет "выколотая" точка (точка разрыва). Координаты этой точки $(4, -7/8)$.
5. Построение графика. - Строим асимптоты: прямые $x=-4$ и $y=-1$. - Находим точки пересечения с осями координат: - с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{0+4} - 1 = -3/4$. Точка $(0, -3/4)$. - с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{1}{x+4} - 1 \implies x+4=1 \implies x=-3$. Точка $(-3, 0)$. - Рисуем ветви гиперболы, проходящие через найденные точки и приближающиеся к асимптотам. - На ветви, расположенной в первой и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот), отмечаем выколотую точку $(4, -7/8)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x+4} - 1$ с вертикальной асимптотой $x=-4$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$, и с выколотой точкой (точкой разрыва) в $(4, -7/8)$.

в)

Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}$.
1. Упрощение функции. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. Тогда $\sqrt{1-\cos^2 x} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$. Функция принимает вид: $y = \frac{|\sin x|}{\cos x}$.
2. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. В этих точках график функции имеет вертикальные асимптоты.
3. Раскрытие модуля. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$. - Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это происходит, когда $x$ принадлежит отрезкам вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и функция становится $y = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$. - Случай 2: $\sin x < 0$. Это происходит, когда $x$ принадлежит интервалам вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и функция становится $y = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
4. Построение графика. Функция является периодической с периодом $2\pi$. Построим ее график на промежутке $[0, 2\pi]$, а затем повторим его на всей числовой оси. - На промежутке $[0, \pi]$ (где $\sin x \ge 0$), исключая точку $x=\pi/2$, график совпадает с графиком $y=\tan x$. - На промежутке $(\pi, 2\pi)$ (где $\sin x < 0$), исключая точку $x=3\pi/2$, график совпадает с графиком $y=-\tan x$. График $y=-\tan x$ является отражением графика $y=\tan x$ относительно оси Ox. - Таким образом, мы рисуем стандартные ветви тангенса на отрезке $[0, \pi]$ (с вертикальной асимптотой $x=\pi/2$) и отраженные ветви тангенса на интервале $(\pi, 2\pi)$ (с вертикальной асимптотой $x=3\pi/2$). - Функция непрерывна во всех точках области определения, включая точки $x=\pi k$, где $\sin x = 0$, так как $\lim_{x\to \pi k^-}y(x) = \lim_{x\to \pi k^+}y(x) = 0$.

Ответ: График функции строится следующим образом: на интервалах вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ (за исключением точек $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$) он совпадает с графиком $y=\tan x$, а на интервалах вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$ (за исключением точек $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$) он совпадает с графиком $y=-\tan x$. Вертикальные асимптоты проходят через точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{1+2x+x^2}}{x+1}$.
1. Упрощение функции. Выражение под корнем является полным квадратом: $1+2x+x^2 = (x+1)^2$. Тогда $\sqrt{1+2x+x^2} = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$. Функция принимает вид: $y = \frac{|x+1|}{x+1}$.
2. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.
3. Раскрытие модуля. - Случай 1: $x+1 > 0$, то есть $x > -1$. В этом случае $|x+1| = x+1$, и функция становится $y = \frac{x+1}{x+1} = 1$. - Случай 2: $x+1 < 0$, то есть $x < -1$. В этом случае $|x+1| = -(x+1)$, и функция становится $y = \frac{-(x+1)}{x+1} = -1$.
4. Построение графика. - Для всех $x > -1$ график функции — это горизонтальный луч $y=1$, начинающийся из точки $(-1, 1)$. - Для всех $x < -1$ график функции — это горизонтальный луч $y=-1$, заканчивающийся в точке $(-1, -1)$. - В точке $x=-1$ функция не определена, поэтому на графике в точках $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$ будут "выколотые" точки (обозначаются пустыми кружками).

Ответ: График функции состоит из двух лучей: луча $y=1$ для $x > -1$ и луча $y=-1$ для $x < -1$. Точка с абсциссой $x=-1$ не принадлежит графику, что отмечается выколотыми точками в $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.

85. а) $y = \sin x \sqrt{\cos^2 x} + \cos x \sqrt{\sin^2 x};$

б) $y = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \sin x;$

в) $y = \sin^2 (\sqrt{\text{tg } x}) + \cos^2 x (\sqrt{\text{tg } x});$

г) $y = \sqrt{1 - \sin^2 x} + \cos x.$

а) Исходное выражение: $y = \sin x \sqrt{\cos^2 x} + \cos x \sqrt{\sin^2 x}$.

Мы знаем, что для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$

$\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \sin x |\cos x| + \cos x |\sin x|$

Для дальнейшего упрощения необходимо раскрыть модули. Значение выражения зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$, то есть от координатной четверти, в которой находится угол $x$.

• 1-я четверть: $x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

  Здесь $\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$. Следовательно, $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.

  $y = \sin x (\cos x) + \cos x (\sin x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

• 2-я четверть: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

  Здесь $\sin x \ge 0$ и $\cos x < 0$. Следовательно, $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.

  $y = \sin x (-\cos x) + \cos x (\sin x) = -\sin x \cos x + \sin x \cos x = 0$.

• 3-я четверть: $x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

  Здесь $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. Следовательно, $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.

  $y = \sin x (-\cos x) + \cos x (-\sin x) = -\sin x \cos x - \sin x \cos x = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$.

• 4-я четверть: $x \in [\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

  Здесь $\sin x < 0$ и $\cos x \ge 0$. Следовательно, $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.

  $y = \sin x (\cos x) + \cos x (-\sin x) = \sin x \cos x - \sin x \cos x = 0$.

Собрав все случаи вместе, получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \\ -\sin(2x), & \text{если } x \in (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное выражение: $y = \sqrt{1 - \cos^2 x} + \sin x$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Подставим это в исходное выражение:

$y = \sqrt{\sin^2 x} + \sin x$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |\sin x| + \sin x$

Далее рассмотрим два случая:

• Если $\sin x \ge 0$ (для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = \sin x$.

  $y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

• Если $\sin x < 0$ (для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\sin x| = -\sin x$.

  $y = -\sin x + \sin x = 0$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$.

в) Исходное выражение: $y = \sin^2(\sqrt{\operatorname{tg} x}) + \cos^2 x(\sqrt{\operatorname{tg} x})$.

В данном выражении, с большой вероятностью, содержится опечатка. Логично предположить, что имелось в виду $y = \sin^2(\sqrt{\operatorname{tg} x}) + \cos^2(\sqrt{\operatorname{tg} x})$, так как это позволяет применить основное тригонометрическое тождество. Решим задачу исходя из этого предположения.

Обозначим $\alpha = \sqrt{\operatorname{tg} x}$. Тогда выражение принимает вид $y = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для любого $\alpha$.

Таким образом, $y = 1$.

Однако, это равенство выполняется только в области определения исходной функции. Найдем ее:

1. Тангенс должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\operatorname{tg} x \ge 0$.

Условие $\operatorname{tg} x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится в первой или третьей координатной четверти. Объединяя с первым условием, получаем область определения: $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y=1$ при $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное выражение: $y = \sqrt{1 - \sin^2 x} + \cos x$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ получаем $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

Подставим это в исходное выражение:

$y = \sqrt{\cos^2 x} + \cos x$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |\cos x| + \cos x$

Далее рассмотрим два случая:

• Если $\cos x \ge 0$ (для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = \cos x$.

  $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

• Если $\cos x < 0$ (для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), то $|\cos x| = -\cos x$.

  $y = -\cos x + \cos x = 0$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2 \cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$.

Постройте график функции (86–89).

86. a) $y = \left|\{x\} - \frac{1}{2}\right|$;

б) $y = 2^{\log_2 x}$;

в) $y = 2^{|\log_2 x|+1}$;

г) $y = \log_x \frac{x}{2}$.

а) $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$

Для построения графика этой функции, рассмотрим ее поэтапно.

1. Функция $\{x\}$ — это дробная часть числа $x$. Она определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).
Основные свойства функции $\{x\}$:

• Область значений: $[0, 1)$.
• Периодичность: функция периодическая с периодом $T=1$.

2. Рассмотрим функцию на основном периоде, интервале $[0, 1)$. На этом интервале $\{x\} = x$. Таким образом, функция принимает вид $y = |x - \frac{1}{2}|$.

3. График функции $y = |x - \frac{1}{2}|$ на интервале $[0, 1)$ состоит из двух частей:

• При $0 \le x < \frac{1}{2}$, выражение $x - \frac{1}{2}$ отрицательно, поэтому $|x - \frac{1}{2}| = -(x - \frac{1}{2}) = -x + \frac{1}{2}$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
• При $\frac{1}{2} \le x < 1$, выражение $x - \frac{1}{2}$ неотрицательно, поэтому $|x - \frac{1}{2}| = x - \frac{1}{2}$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(1, \frac{1}{2})$.

На интервале $[0, 1)$ мы получаем "галочку" (V-образную кривую) с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$ и максимальным значением $\frac{1}{2}$ на краях интервала.

4. Так как функция $\{x\}$ периодична с периодом 1, то и вся функция $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$ также периодична с периодом 1. Это означает, что построенная "галочка" будет повторяться на каждом интервале $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: График функции представляет собой периодическую "пилообразную" волну, состоящую из повторяющихся V-образных сегментов. На каждом интервале $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) график имеет минимум, равный 0, в точке $x = n + 0.5$ и максимум, равный 0.5, в точках $x=n$.

б) $y = 2^{\log_2 x}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$. Применяя его к нашей функции, получаем:$y = 2^{\log_2 x} = x$.

3. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x$ с учетом ОДЗ, то есть при $x > 0$.

Ответ: График функции — это луч, выходящий из начала координат под углом 45 градусов к положительной полуоси $Ox$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (изображается как выколотая точка).

в) $y = 2^{|\log_2 x| + 1}$

1. ОДЗ функции определяется условием $x > 0$.

2. Упростим выражение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:$y = 2^{|\log_2 x|} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{|\log_2 x|}$.

3. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Случай 1: $\log_2 x \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \ge 1$. В этом случае $|\log_2 x| = \log_2 x$, и функция принимает вид: $y = 2 \cdot 2^{\log_2 x} = 2 \cdot x = 2x$. Итак, при $x \ge 1$ график функции совпадает с графиком прямой $y=2x$. Это луч, начинающийся в точке $(1, 2 \cdot 1) = (1, 2)$.
• Случай 2: $\log_2 x < 0$. Это неравенство выполняется при $0 < x < 1$. В этом случае $|\log_2 x| = -\log_2 x = \log_2 (x^{-1}) = \log_2(\frac{1}{x})$. Функция принимает вид: $y = 2 \cdot 2^{-\log_2 x} = 2 \cdot 2^{\log_2(1/x)} = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$. Итак, при $0 < x < 1$ график функции совпадает с графиком гиперболы $y = \frac{2}{x}$.

4. Объединим результаты. График состоит из двух частей, которые "склеиваются" в точке $x=1$. При $x \to 1^-$, $y = \frac{2}{x} \to 2$. При $x = 1$, $y = 2x = 2$. Таким образом, точка $(1, 2)$ является общей для обеих частей графика.

Ответ: График состоит из двух частей:

• при $0 < x < 1$ — ветвь гиперболы $y=\frac{2}{x}$, проходящая через точку $(1, 2)$ и уходящая в бесконечность при $x \to 0^+$;
• при $x \ge 1$ — луч $y=2x$, выходящий из точки $(1, 2)$.

г) $y = \log_x \frac{x}{2}$

1. Найдем ОДЗ. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$, $x \neq 1$). Аргумент логарифма $\frac{x}{2}$ должен быть положительным, что также дает $x > 0$. Итоговая ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Упростим выражение, используя свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$:$y = \log_x x - \log_x 2$.Поскольку $\log_x x = 1$ для всех $x$ из ОДЗ, получаем:$y = 1 - \log_x 2$.

3. Для анализа и построения графика удобно перейти к одному основанию, например, 2, используя формулу $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:$y = 1 - \frac{1}{\log_2 x}$.

4. Проанализируем поведение функции:

• При $x \to 0^+$, $\log_2 x \to -\infty$, $\frac{1}{\log_2 x} \to 0$, следовательно $y \to 1$. График приближается к точке $(0, 1)$, но не достигает ее (выколотая точка).
• При $x \to 1^-$, $\log_2 x \to 0^-$, $\frac{1}{\log_2 x} \to -\infty$, следовательно $y = 1 - (-\infty) \to +\infty$.
• При $x \to 1^+$, $\log_2 x \to 0^+$, $\frac{1}{\log_2 x} \to +\infty$, следовательно $y = 1 - (+\infty) \to -\infty$.
• Таким образом, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
• При $x \to +\infty$, $\log_2 x \to +\infty$, $\frac{1}{\log_2 x} \to 0$, следовательно $y \to 1$. Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (корень функции), решив уравнение $y=0$:$1 - \log_x 2 = 0 \implies \log_x 2 = 1 \implies x = 2$.Точка пересечения с осью абсцисс — $(2, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей:

• На интервале $(0, 1)$ кривая начинается от выколотой точки $(0, 1)$ и уходит на $+\infty$ при приближении к вертикальной асимптоте $x=1$ слева.
• На интервале $(1, \infty)$ кривая выходит из $-\infty$ при приближении к вертикальной асимптоте $x=1$ справа, пересекает ось абсцисс в точке $(2, 0)$ и асимптотически приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ при $x \to +\infty$.

87. а) $y=\sqrt{[x]}$;

б) $y=\sqrt{\{x\}}$;

в) $y=\{x\}^2$;

г) $y=\{x^2\}$;

д) $y=\frac{\{x\}}{[x]}$.

а)Функция $y = \sqrt{[x]}$. Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$ (функция "пол" или "floor"), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
Область определения:Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $[x] \ge 0$. Поскольку $[x]$ является целым числом, это означает, что $[x]$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$. Это условие выполняется для всех $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.
Анализ и построение графика:Функция является кусочно-постоянной (ступенчатой), так как значение $[x]$ меняется только в целых точках $x$.

• На промежутке $x \in [0, 1)$, $[x] = 0$, следовательно, $y = \sqrt{0} = 0$.
• На промежутке $x \in [1, 2)$, $[x] = 1$, следовательно, $y = \sqrt{1} = 1$.
• На промежутке $x \in [2, 3)$, $[x] = 2$, следовательно, $y = \sqrt{2} \approx 1.414$.
• На промежутке $x \in [3, 4)$, $[x] = 3$, следовательно, $y = \sqrt{3} \approx 1.732$.
• На промежутке $x \in [4, 5)$, $[x] = 4$, следовательно, $y = \sqrt{4} = 2$.

В общем виде, для любого целого неотрицательного $k$, на промежутке $x \in [k, k+1)$ значение функции постоянно и равно $y=\sqrt{k}$. График функции состоит из горизонтальных отрезков.
Ответ: Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$. График функции — это совокупность горизонтальных отрезков $[k, k+1)$ на высоте $y=\sqrt{k}$ для каждого целого $k \ge 0$.

б)Функция $y = \sqrt{\{x\}}$. Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$, определяемая как $\{x\} = x - [x]$.
Область определения:По определению, дробная часть числа $\{x\}$ всегда удовлетворяет неравенству $0 \le \{x\} < 1$. Так как подкоренное выражение всегда неотрицательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Анализ и построение графика:Функция $y = \sqrt{\{x\}}$ является периодической с периодом $T=1$, так как $\{x+1\} = \{x\}$. Поэтому достаточно проанализировать ее поведение на одном периоде, например, на промежутке $[0, 1)$.
На промежутке $x \in [0, 1)$, $\{x\} = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$.
График на всей числовой оси будет состоять из бесконечного повторения этого фрагмента. Для любого целого $k$, на промежутке $[k, k+1)$, график функции будет выглядеть так же, как график $y=\sqrt{x}$ на $[0, 1)$, но сдвинутый на $k$ вправо. В каждой целой точке $x=k$, $\{k\}=0$, поэтому $y=0$.
Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Функция периодическая с периодом 1. График состоит из повторяющихся на каждом промежутке $[k, k+1)$ (где $k$ - целое) фрагментов кривой $y=\sqrt{x-k}$. Область значений $E(y) = [0, 1)$.

в)Функция $y = \{x\}^2$.
Область определения:Дробная часть числа $\{x\}$ определена для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Анализ и построение графика:Функция $y = \{x\}^2$ является периодической с периодом $T=1$, так как $\{x+1\} = \{x\}$. Рассмотрим ее поведение на промежутке $[0, 1)$.
На промежутке $x \in [0, 1)$, $\{x\} = x$, и функция принимает вид $y = x^2$.
График на всей числовой оси будет состоять из повторений этого фрагмента параболы. На каждом промежутке $[k, k+1)$ для целого $k$, график будет выглядеть как график $y=(x-k)^2$. В целых точках $x=k$, $y=\{k\}^2=0^2=0$. При $x$, стремящемся к $k+1$ слева, $\{x\}$ стремится к 1, и $y$ стремится к $1^2=1$.
Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Функция периодическая с периодом 1. График состоит из повторяющихся на каждом промежутке $[k, k+1)$ (где $k$ - целое) фрагментов параболы $y=(x-k)^2$. Область значений $E(y) = [0, 1)$.

г)Функция $y = \{x^2\}$.
Область определения:Функция $x^2$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, и дробная часть также определена для любого действительного аргумента. Таким образом, область определения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Анализ и построение графика:Функция является четной, так как $y(-x) = \{(-x)^2\} = \{x^2\} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Рассмотрим поведение функции для $x \ge 0$.
По определению, $y = x^2 - [x^2]$. Значение $[x^2]$ меняется скачкообразно, когда $x^2$ проходит через целое значение.Пусть $[x^2]=k$, где $k$ - целое неотрицательное число. Это эквивалентно $k \le x^2 < k+1$. Для $x \ge 0$ это означает $\sqrt{k} \le x < \sqrt{k+1}$.
На каждом таком промежутке $[\sqrt{k}, \sqrt{k+1})$ функция имеет вид $y = x^2 - k$. Это график параболы $y=x^2$, сдвинутый вниз на $k$ единиц.

• При $x \in [0, 1)$, $k=0$, $y=x^2$.
• При $x \in [1, \sqrt{2})$, $k=1$, $y=x^2-1$.
• При $x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$, $k=2$, $y=x^2-2$.

График для $x \ge 0$ состоит из "лоскутков" парабол. Каждый такой "лоскуток" на промежутке $[\sqrt{k}, \sqrt{k+1})$ начинается в точке $(\sqrt{k}, 0)$ и заканчивается в точке, к которой график стремится, $(\sqrt{k+1}, 1)$.
Ответ: Область определения $D(y) = \mathbb{R}$. Функция четная. График состоит из частей парабол $y=x^2-k$ на промежутках $[\sqrt{k}, \sqrt{k+1})$ для $x \ge 0$ (и симметричных для $x < 0$), где $k=0, 1, 2, ...$. Область значений $E(y) = [0, 1)$.

д)Функция $y = \frac{\{x\}}{[x]}$.
Область определения:Знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $[x] \neq 0$. Условие $[x]=0$ выполняется для всех $x$ из промежутка $[0, 1)$. Следовательно, этот промежуток должен быть исключен.Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.
Анализ и построение графика:Рассмотрим поведение функции на промежутках вида $[k, k+1)$, где $k$ — целое число из области определения. На таком промежутке $[x]=k$ (константа) и $\{x\}=x-k$.Функция принимает вид $y = \frac{x-k}{k} = \frac{x}{k} - 1$. На каждом таком интервале это линейная функция.
Случай 1: $x \ge 1$ (целые $k \ge 1$).На промежутке $[k, k+1)$, $y$ изменяется от $y(k) = \frac{k-k}{k} = 0$ до значения, к которому $y$ стремится при $x \to (k+1)^-$, то есть $\frac{(k+1)-k}{k} = \frac{1}{k}$.

• На $[1, 2)$, $y = x-1$. График — отрезок от $(1, 0)$ до $(2, 1)$ (точка $(2,1)$ выколота).
• На $[2, 3)$, $y = \frac{x-2}{2}$. График — отрезок от $(2, 0)$ до $(3, 1/2)$ (точка $(3, 1/2)$ выколота).
• На $[k, k+1)$, график — отрезок от $(k, 0)$ до $(k+1, 1/k)$ (правая точка выколота).

Случай 2: $x < 0$ (целые $k \le -1$).На промежутке $[k, k+1)$, $y$ также изменяется от $y(k) = \frac{k-k}{k} = 0$ до $\frac{(k+1)-k}{k} = \frac{1}{k}$.

• На $[-1, 0)$, $k=-1$. $y = \frac{x-(-1)}{-1} = -x-1$. График — отрезок от $(-1, 0)$ до $(0, -1)$ (точка $(0, -1)$ выколота).
• На $[-2, -1)$, $k=-2$. $y = \frac{x-(-2)}{-2} = -\frac{x}{2}-1$. График — отрезок от $(-2, 0)$ до $(-1, -1/2)$ (точка $(-1, -1/2)$ выколота).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$. График функции представляет собой совокупность отрезков прямых. На каждом промежутке $[k, k+1)$ (где $k$ - ненулевое целое число) это отрезок прямой $y=\frac{x-k}{k}$, соединяющий точку $(k, 0)$ и выколотую точку $(k+1, 1/k)$. Область значений $E(y) = (-1, 1)$.

88. a) $y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}$;

б) $y = \sqrt{\log_{2000} \cos^{2000} x}$;

в) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2} \sin x$;

г) $y = \{\cos x\}$.

а) $y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}$
Для того чтобы функция была определена, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} $$ Из второго неравенства следует, что $x \le 0$. Единственным числом, которое одновременно удовлетворяет условиям $x \ge 0$ и $x \le 0$, является $x=0$.
Таким образом, область определения функции состоит из одной точки.
Ответ: $D(y) = \{0\}$.

б) $y = \sqrt{\log_{2000} \cos^{2000} x}$
Область определения функции задается системой условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_{2000} \cos^{2000} x \ge 0$.
2. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $\cos^{2000} x > 0$.
Рассмотрим первое неравенство. Так как основание логарифма $2000 > 1$, неравенство $\log_{2000} \cos^{2000} x \ge 0$ равносильно неравенству $\cos^{2000} x \ge 1$.
Известно, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Поскольку показатель степени $2000$ является четным числом, то $0 \le \cos^{2000} x \le 1$ для любого $x$.
Совмещая условия $\cos^{2000} x \ge 1$ и $\cos^{2000} x \le 1$, получаем единственное возможное равенство: $\cos^{2000} x = 1$.
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

• $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два множества решений, получаем $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
При этих значениях $x$ выполняется равенство $\cos^{2000} x = 1$, что удовлетворяет и второму условию $\cos^{2000} x > 0$.
Следовательно, область определения функции — это множество всех точек вида $\pi k$.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

в) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2} \sin x$
Данная функция представляет собой произведение двух функций. Функция $\sin x$ определена для всех действительных чисел. Функция $\operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ определена для всех $x$, при которых знаменатель в выражении $\operatorname{ctg}\frac{x}{2} = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}$ не равен нулю.
Таким образом, должно выполняться условие $\sin\frac{x}{2} \neq 0$.
Решая уравнение $\sin\frac{x}{2} = 0$, получаем: $$ \frac{x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Хотя функцию можно упростить: $$ y = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot (2\sin(x/2)\cos(x/2)) = 2\cos^2(x/2) = 1 + \cos x $$ это преобразование справедливо только в области определения исходной функции, то есть при $x \neq 2\pi n$. Точки $x = 2\pi n$ являются точками устранимого разрыва.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

г) $y = \{\cos x\}$
Фигурные скобки $\{a\}$ обозначают дробную часть числа $a$, которая определяется как $\{a\} = a - \lfloor a \rfloor$, где $\lfloor a \rfloor$ — целая часть числа (наибольшее целое число, не превосходящее $a$).
Функция "дробная часть" $f(z) = \{z\}$ определена для всех действительных чисел $z$.
Внутренняя функция $g(x) = \cos x$ также определена для всех действительных чисел $x$. Её область значений — отрезок $[-1, 1]$.
Данная функция $y(x)$ является композицией функций $f(g(x))$. Поскольку внутренняя функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, а её область значений $[-1, 1]$ полностью содержится в области определения внешней функции (дробной части), то и композиция определена для всех действительных $x$.
Ответ: $D(y) = \mathbb{R}$.

89. a) $y = \sin (\arcsin x)$;

б) $y = \arcsin (\sin x)$;

в) $y = \cos (2 \arccos x)$;

г) $y = \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} x)$.

а) Функция $y = \sin(\arcsin x)$ определена по определению арксинуса.
Арксинус числа $x$ ($\arcsin x$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.
Область определения функции $\arcsin x$ — это отрезок $x \in [-1, 1]$.
Следовательно, область определения для $y = \sin(\arcsin x)$ также $x \in [-1, 1]$.
По определению обратной функции, синус угла, синус которого равен $x$, есть сам $x$.
Таким образом, $y = x$.
Функция представляет собой отрезок прямой $y=x$ на области определения $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $y = x$, где $x \in [-1, 1]$.

б) Функция $y = \arcsin(\sin x)$.
Область определения: функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Функция $\arcsin(z)$ определена для $z \in [-1, 1]$. Таким образом, композиция функций определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Область значений: по определению, арксинус возвращает значение в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Упрощение: равенство $y = x$ выполняется только в том случае, если $x$ принадлежит области значений арксинуса, то есть $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Функция является периодической с периодом $2\pi$, так как $\arcsin(\sin(x+2\pi)) = \arcsin(\sin x)$.
Рассмотрим поведение функции на разных интервалах:
1. Если $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(\sin x) = x$.
2. Если $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, то $\pi - x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используя тождество $\sin x = \sin(\pi - x)$, получаем $\arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi - x)) = \pi - x$.
График этой функции — периодическая "пилообразная" волна.

Ответ: Это периодическая функция с периодом $2\pi$, определенная для всех $x \in \mathbb{R}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ она задается формулой: $y = \begin{cases} x, & x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ \pi - x, & x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \end{cases}$.

в) Функция $y = \cos(2 \arccos x)$.
Область определения: функция $\arccos x$ определена для $x \in [-1, 1]$. Это и есть область определения исходной функции.
Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению, $\cos \alpha = x$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Тогда выражение принимает вид $y = \cos(2\alpha)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
Подставляем обратно $\cos \alpha = x$:
$y = 2(\cos(\arccos x))^2 - 1 = 2x^2 - 1$.
Таким образом, функция является частью параболы $y = 2x^2 - 1$ на отрезке $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $y = 2x^2 - 1$, где $x \in [-1, 1]$.

г) Функция $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$.
Область определения: функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это и есть область определения исходной функции.
Область значений: по определению, арктангенс возвращает значение в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Упрощение: равенство $y = x$ выполняется только в том случае, если $x$ принадлежит области значений арктангенса, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Функция является периодической с периодом $\pi$, так как $\operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg} x$.
Рассмотрим поведение функции на интервале, сдвинутом на $k\pi$.
Если $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, то $x - k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Используя тождество $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x-k\pi)$, получаем:
$y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x-k\pi)) = x - k\pi$.
График этой функции — набор отрезков прямых с наклоном 1.

Ответ: Это периодическая функция с периодом $\pi$, которая определяется выражением $y = x - k\pi$ для $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k$ — любое целое число. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

90. Найдите с помощью эскизов графиков число решений уравнения:

a) $\sin x = 100x;$

б) $\arcsin x = x;$

в) $\lg x = \cos x;$

г) $x^2 + \tan^2 x = 100.$

а) $\sin x = 100x$

Для нахождения числа решений уравнения графическим методом, рассмотрим пересечение графиков двух функций: $y = \sin x$ и $y = 100x$.

1. График функции $y = \sin x$ — это синусоида, значения которой находятся в диапазоне от -1 до 1. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.

2. График функции $y = 100x$ — это прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) с очень большим угловым коэффициентом, равным 100.

Очевидно, что точка $x=0$ является решением, так как $\sin 0 = 0$ и $100 \cdot 0 = 0$. Таким образом, графики пересекаются в точке (0,0).

Для существования других решений необходимо, чтобы выполнялось условие $-1 \le 100x \le 1$, что эквивалентно $-0.01 \le x \le 0.01$.

Рассмотрим поведение функций вблизи точки $x=0$. Сравним их производные в этой точке. Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$. В точке $x=0$ наклон касательной к синусоиде равен $\cos 0 = 1$. Производная функции $y = 100x$ равна $y' = 100$. Наклон этой прямой равен 100.

Так как в точке $x=0$ наклон прямой $y=100x$ (равный 100) значительно больше наклона касательной к графику $y=\sin x$ (равного 1), прямая "прорезает" синусоиду в начале координат и сразу же выходит за пределы "коридора" $y \in [-1, 1]$, в котором лежит синусоида. Более строго, рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - 100x$. Ее производная $f'(x) = \cos x - 100$. Поскольку максимальное значение $\cos x$ равно 1, производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) \le 1 - 100 = -99$). Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Мы уже нашли, что $f(0) = 0$, следовательно, других решений нет.

Ответ: 1

б) $\arcsin x = x$

Рассмотрим графики функций $y = \arcsin x$ и $y = x$.

1. График функции $y = \arcsin x$ определен на отрезке $[-1, 1]$, а его значения лежат в диапазоне $[-\pi/2, \pi/2]$. График проходит через начало координат.

2. График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Точка $x=0$ является решением, так как $\arcsin 0 = 0$.

Найдем производные функций, чтобы сравнить их поведение. Производная $y = \arcsin x$ равна $y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Производная $y = x$ равна $y' = 1$.

В точке $x=0$ наклон касательной к графику $y = \arcsin x$ равен $\frac{1}{\sqrt{1-0^2}} = 1$. Это совпадает с наклоном прямой $y=x$. Следовательно, прямая $y=x$ является касательной к графику $y = \arcsin x$ в точке (0,0).

Чтобы определить, есть ли другие точки пересечения, рассмотрим вторую производную функции $y = \arcsin x$: $y'' = \left((1-x^2)^{-1/2}\right)' = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2}(-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$. При $x \in (0, 1)$ вторая производная $y'' > 0$, значит, функция является выпуклой вниз (вогнутой), и ее график лежит выше касательной $y=x$. При $x \in (-1, 0)$ вторая производная $y'' < 0$, значит, функция является выпуклой вверх (выпуклой), и ее график лежит ниже касательной $y=x$. Таким образом, графики соприкасаются в точке (0,0), но не пересекаются в других точках.

Ответ: 1

в) $\lg x = \cos x$

Рассмотрим графики функций $y = \lg x$ (десятичный логарифм) и $y = \cos x$.

1. График $y = \lg x$ определен для $x>0$. Это монотонно возрастающая функция, которая пересекает ось абсцисс в точке $x=1$ ($\lg 1 = 0$).

2. График $y = \cos x$ — косинусоида, значения которой лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, решения могут существовать только там, где $-1 \le \lg x \le 1$. Это соответствует диапазону $10^{-1} \le x \le 10^1$, то есть $0.1 \le x \le 10$.

Проанализируем графики на этом интервале:

• На интервале $(0, 1]$, $\lg x \le 0$, а $\cos x > 0$ (так как $1 < \pi/2$). Пересечений нет.
• На интервале $(1, \pi/2) \approx (1, 1.57)$: $y=\lg x$ возрастает от 0, а $y=\cos x$ убывает к 0. В точке $x=1$, $\lg 1 = 0$, а $\cos 1 > 0$. В точке $x=\pi/2$, $\lg(\pi/2)>0$, а $\cos(\pi/2)=0$. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, и их значения "меняются местами", на этом интервале есть ровно одна точка пересечения.
• На интервале $[\pi/2, 3\pi/2] \approx [1.57, 4.71]$, $\cos x \le 0$, в то время как $\lg x > 0$. Пересечений нет.
• Рассмотрим следующий "положительный горб" косинусоиды на интервале $(3\pi/2, 5\pi/2) \approx (4.71, 7.85)$. В центре этого интервала, в точке $x=2\pi \approx 6.28$, имеем $\cos(2\pi)=1$. Значение логарифма в этой точке $\lg(2\pi) = \lg(6.28) < \lg(10) = 1$. Таким образом, в точке $x=2\pi$ график косинуса находится выше графика логарифма. На границах интервала $(3\pi/2, 5\pi/2)$ косинус равен нулю, а логарифм положителен. Это означает, что график $\lg x$ "входит" в горб косинусоиды и "выходит" из него, создавая две точки пересечения.
• Для $x > 10$, $\lg x > \lg 10 = 1$. Поскольку $\cos x \le 1$, $\lg x$ всегда будет больше, чем $\cos x$. Новых пересечений не будет.

Итого, мы имеем одно пересечение на интервале $(1, \pi/2)$ и два пересечения на интервале $(3\pi/2, 5\pi/2)$.

Ответ: 3

г) $x^2 + \tg^2 x = 100$

Это уравнение можно интерпретировать как поиск точек пересечения двух графиков: $y = \tg x$ и $x^2 + y^2 = 100$.

1. График функции $y = \tg x$ — это тангенсоида, состоящая из бесконечного числа ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число.

2. График уравнения $x^2 + y^2 = 100$ — это окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R = 10$. Окружность существует только для $x \in [-10, 10]$.

Мы должны посчитать, сколько раз ветви тангенсоиды пересекают эту окружность. Найдем, какие асимптоты тангенса попадают в интервал $(-10, 10)$: $|\frac{\pi}{2} + k\pi| < 10 \implies |k + 0.5| < \frac{10}{\pi} \approx 3.18$. $-3.18 < k + 0.5 < 3.18 \implies -3.68 < k < 2.68$. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: -3, -2, -1, 0, 1, 2. Эти 6 значений $k$ определяют асимптоты $x=\pm\frac{\pi}{2}$, $x=\pm\frac{3\pi}{2}$, $x=\pm\frac{5\pi}{2}$, которые находятся внутри интервала $(-10, 10)$.

Асимптоты делят интервал $(-10, 10)$ на 7 областей, в каждой из которых находится непрерывная ветвь или часть ветви тангенса:

• 5 полных ветвей на интервалах $(-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2})$, $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2})$. Каждая такая ветвь является монотонной функцией, значения которой изменяются от $-\infty$ до $+\infty$. Такая ветвь обязательно пересечет окружность дважды (один раз "войдет" в нее, другой раз "выйдет"). Итого: $5 \times 2 = 10$ решений.
• Часть ветви на интервале $(\frac{5\pi}{2}, 10] \approx (7.85, 10]$. На этом интервале тангенс возрастает от $-\infty$ до $\tg(10) > 0$. В точке $x \approx 9.42$ (где $x=3\pi$) тангенс равен 0, а окружность имеет $y = \pm\sqrt{100 - (3\pi)^2} \neq 0$. Точка $(3\pi, 0)$ лежит внутри окружности. В точке $x=10$ точка $(\_10, \tg(10))$ лежит вне окружности, т.к. $10^2 + \tg^2(10) > 100$. Так как ветвь идет извне окружности (от $-\infty$), заходит внутрь и снова выходит, она пересекает окружность дважды. Итого: 2 решения.
• Часть ветви на интервале $[-10, -\frac{5\pi}{2}) \approx [-10, -7.85)$. Это часть ветви, определенной на $(-7\pi/2, -5\pi/2)$. Ветвь возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Нас интересует ее поведение на отрезке от $x=-10$. В точке $x=-10$ точка $(-10, \tg(-10))$ лежит вне окружности ($(-10)^2 + \tg^2(-10) > 100$). В точке $x=-3\pi \approx -9.42$ точка $(-3\pi, 0)$ лежит внутри окружности. Так как ветвь идет извне, заходит внутрь, а затем уходит на $+\infty$ (снова выходя за пределы окружности), она также дает 2 пересечения. Итого: 2 решения.

Суммируя все пересечения: $10 + 2 + 2 = 14$.

Ответ: 14

91. На рисунке 159 изображен график функции

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d.$

Определите знаки коэффициентов $a, b, c, d.$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать график функции $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Так как сам график (рисунок 159) не предоставлен, ниже изложен общий метод определения знаков коэффициентов кубической функции по её графику.

Знак старшего коэффициента a определяет общее поведение функции на бесконечности. Если график функции уходит из левой нижней части плоскости в правую верхнюю (т.е. при $x \to -\infty$ значение $y \to -\infty$, а при $x \to +\infty$ значение $y \to +\infty$), то старший коэффициент положителен. Если же график уходит из левой верхней части плоскости в правую нижнюю (т.е. при $x \to -\infty$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to +\infty$ значение $y \to -\infty$), то старший коэффициент отрицателен.

Ответ: Знак a определяется по направлению ветвей графика на бесконечности. Если правая ветвь уходит вверх, то $a > 0$. Если правая ветвь уходит вниз, то $a < 0$.

Коэффициент d является свободным членом и показывает значение функции при $x=0$, то есть $y(0) = d$. Геометрически это ордината точки пересечения графика с осью OY. Чтобы найти знак d, нужно посмотреть, где график пересекает ось ординат. Если точка пересечения находится выше оси OX, её ордината положительна, следовательно, $d > 0$. Если точка пересечения находится ниже оси OX, её ордината отрицательна, следовательно, $d < 0$. Если график проходит через начало координат, то $d = 0$.

Ответ: Знак d определяется по точке пересечения графика с осью OY. Если точка пересечения выше оси OX, то $d > 0$. Если ниже — $d < 0$. Если проходит через начало координат — $d = 0$.

Коэффициент c связан со скоростью изменения функции в точке $x=0$. Значение коэффициента c равно значению производной функции $y' = 3ax^2 + 2bx + c$ в точке $x=0$, так как $y'(0) = c$. Геометрически $y'(0)$ — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке его пересечения с осью OY. Если в точке пересечения с осью OY функция возрастает (график идёт вверх), то касательная имеет положительный наклон, и $c > 0$. Если в точке пересечения с осью OY функция убывает (график идёт вниз), то касательная имеет отрицательный наклон, и $c < 0$. Если в точке $x=0$ находится точка экстремума (локальный максимум или минимум), то касательная горизонтальна, и $c = 0$.

Ответ: Знак c определяется по поведению графика в точке пересечения с осью OY. Если функция в этой точке возрастает, то $c > 0$. Если убывает — $c < 0$. Если в этой точке экстремум — $c=0$.

Знак коэффициента b связан с расположением точки перегиба графика. Точка перегиба — это точка, в которой меняется направление выпуклости графика. Её абсцисса $x_{перегиба}$ находится из условия, что вторая производная равна нулю: $y'' = (3ax^2 + 2bx + c)' = 6ax + 2b = 0$. Отсюда $x_{перегиба} = -\frac{2b}{6a} = -\frac{b}{3a}$. Выразим отсюда b: $b = -3a \cdot x_{перегиба}$. Зная знак коэффициента a (из первого пункта) и определив по графику знак абсциссы точки перегиба $x_{перегиба}$, можно найти знак b. Для этого нужно найти на графике точку перегиба и определить её расположение относительно оси OY (т.е. знак $x_{перегиба}$). Например, если $a > 0$ и точка перегиба находится правее оси OY ($x_{перегиба} > 0$), то $b = -3(\text{+}) \cdot (\text{+}) = (\text{−})$, то есть $b < 0$. Если $a > 0$ и точка перегиба левее оси OY ($x_{перегиба} < 0$), то $b = -3(\text{+}) \cdot (\text{−}) = (\text{+})$, то есть $b > 0$.
Альтернативный способ: абсциссы точек экстремума $x_1$ и $x_2$ (если они есть) являются корнями производной $y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0$. По теореме Виета, их сумма равна $x_1 + x_2 = -\frac{2b}{3a}$. Тогда $b = -\frac{3a}{2}(x_1+x_2)$. Знак b зависит от знака a и знака суммы абсцисс экстремумов, которые можно определить по графику.

Ответ: Знак b определяется по знаку коэффициента a и расположению точки перегиба $x_{перегиба}$ по формуле $b = -3a \cdot x_{перегиба}$.

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию (92—96).

92. а) $x(y - 2) = 0$;

б) $|y| = |x^2 - 2x|$;

в) $(x - 2)(y + 4) = 0$;

г) $|y| = \sin x$.

а) $x(y - 2) = 0$

Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x = 0$ или $y - 2 = 0$.

Первое уравнение, $x = 0$, задает на координатной плоскости ось ординат (ось OY).

Второе уравнение, $y - 2 = 0$, можно переписать как $y = 2$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс (оси OX) и проходящую через точку с координатами $(0, 2)$.

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих исходному условию, представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Множество точек является объединением двух прямых: оси OY ($x = 0$) и горизонтальной прямой $y = 2$.

б) $|y| = |x^2 - 2x|$

Равенство вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Применительно к нашей задаче это означает:

$y = x^2 - 2x$ или $y = -(x^2 - 2x)$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно:

1. $y = x^2 - 2x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$. Парабола пересекает ось OX в точках, где $y=0$, то есть $x^2 - 2x = 0$, откуда $x(x-2)=0$, значит $x=0$ и $x=2$.
2. $y = -(x^2 - 2x)$ или $y = -x^2 + 2x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$; $y_0 = -(1^2) + 2 \cdot 1 = 1$. Вершина находится в точке $(1, 1)$. Эта парабола пересекает ось OX в тех же точках: $x=0$ и $x=2$.

Искомое множество точек является объединением этих двух парабол.

Ответ: Множество точек является объединением двух парабол: $y = x^2 - 2x$ и $y = -x^2 + 2x$.

в) $(x - 2)(y + 4) = 0$

Аналогично пункту а), произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Это дает нам совокупность двух уравнений:

$x - 2 = 0$ или $y + 4 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 2$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси OY и проходящую через точку $(2, 0)$.

Из второго уравнения получаем $y = -4$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси OX и проходящую через точку $(0, -4)$.

Искомое множество точек является объединением этих двух пересекающихся прямых.

Ответ: Множество точек является объединением двух прямых: вертикальной прямой $x = 2$ и горизонтальной прямой $y = -4$.

г) $|y| = \sin x$

По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной. Следовательно, левая часть уравнения $|y|$ всегда больше или равна нулю. Это накладывает ограничение на правую часть:

$\sin x \ge 0$.

Это неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит отрезкам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

На этих отрезках исходное уравнение $|y| = \sin x$ равносильно совокупности двух уравнений:

$y = \sin x$ и $y = -\sin x$.

Таким образом, для построения графика нужно:

1. Построить график функции $y = \sin x$.
2. Оставить только те его части, которые лежат не ниже оси OX (арки синусоиды на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$).
3. Для этих же значений $x$ построить график $y = -\sin x$. Это будет означать симметричное отражение оставленных частей графика относительно оси OX.

В результате мы получим бесконечную последовательность замкнутых кривых, симметричных относительно оси OX и расположенных на отрезках, где синус неотрицателен.

Ответ: График представляет собой совокупность арок синусоиды $y = \sin x$ на интервалах, где $\sin x \ge 0$, и их зеркальных отражений $y = -\sin x$ относительно оси OX на тех же интервалах.

93. a) $|x| < 1, |y| < 1;$

б) $|x-3| \le 1, |y-4| \le 1;$

в) $|y| > |x+1|;$

г) $|x+y| + |x-y| \ge 2.$

а)

Дана система из двух неравенств: $|x| < 1$ и $|y| < 1$.

Неравенство $|x| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Геометрически на координатной плоскости это множество точек, расположенных в вертикальной полосе между прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Сами прямые не являются частью решения, так как неравенство строгое.

Аналогично, неравенство $|y| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < y < 1$. Это множество точек, расположенных в горизонтальной полосе между прямыми $y = -1$ и $y = 1$, не включая сами прямые.

Решением системы является пересечение этих двух областей. В результате получается область, ограниченная этими четырьмя прямыми.

Ответ: Множество точек, являющееся внутренностью квадрата с вершинами в точках $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Границы квадрата в решение не входят.

б)

Дана система из двух неравенств: $|x-3| \le 1$ и $|y-4| \le 1$.

Неравенство $|x-3| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le x-3 \le 1$. Прибавив 3 ко всем частям, получаем $2 \le x \le 4$. Это вертикальная полоса на координатной плоскости, ограниченная прямыми $x=2$ и $x=4$, включая сами прямые.

Неравенство $|y-4| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le y-4 \le 1$. Прибавив 4 ко всем частям, получаем $3 \le y \le 5$. Это горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=3$ и $y=5$, включая сами прямые.

Решением системы является пересечение этих двух замкнутых полос.

Ответ: Множество точек, являющееся квадратом с вершинами в точках $(2, 3)$, $(4, 3)$, $(4, 5)$ и $(2, 5)$. Границы квадрата включены в решение.

в)

Дано неравенство $|y| > |x+1|$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства:

$y^2 > (x+1)^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$y^2 - (x+1)^2 > 0$

$(y - (x+1))(y + (x+1)) > 0$

$(y - x - 1)(y + x + 1) > 0$

Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим два случая.

1. Оба множителя положительны:
$\begin{cases} y - x - 1 > 0 \\ y + x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > x + 1 \\ y > -x - 1 \end{cases}$
Это область плоскости, расположенная одновременно выше прямой $y = x+1$ и выше прямой $y = -x-1$.

2. Оба множителя отрицательны:
$\begin{cases} y - x - 1 < 0 \\ y + x + 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y < x + 1 \\ y < -x - 1 \end{cases}$
Это область плоскости, расположенная одновременно ниже прямой $y = x+1$ и ниже прямой $y = -x-1$.

Прямые $y = x+1$ и $y = -x-1$ являются границами искомой области, но сами в нее не входят, так как неравенство строгое.

Ответ: Множество точек плоскости, лежащих выше обеих прямых $y = x+1$ и $y = -x-1$, а также множество точек, лежащих ниже обеих этих прямых. Границы областей (сами прямые) не включаются.

г)

Дано неравенство $|x+y| + |x-y| \ge 2$.

Для решения этого неравенства раскроем модули. Знаки выражений под модулями меняются на прямых $x+y=0$ (т.е. $y=-x$) и $x-y=0$ (т.е. $y=x$). Эти прямые делят плоскость на четыре области.

1. Если $x+y \ge 0$ и $x-y \ge 0$ (область, где $y \ge -x$ и $y \le x$), неравенство становится: $(x+y) + (x-y) \ge 2 \Rightarrow 2x \ge 2 \Rightarrow x \ge 1$.

2. Если $x+y \ge 0$ и $x-y < 0$ (область, где $y \ge -x$ и $y > x$), неравенство становится: $(x+y) - (x-y) \ge 2 \Rightarrow 2y \ge 2 \Rightarrow y \ge 1$.

3. Если $x+y < 0$ и $x-y < 0$ (область, где $y < -x$ и $y > x$), неравенство становится: $-(x+y) - (x-y) \ge 2 \Rightarrow -2x \ge 2 \Rightarrow x \le -1$.

4. Если $x+y < 0$ и $x-y \ge 0$ (область, где $y < -x$ и $y \le x$), неравенство становится: $-(x+y) + (x-y) \ge 2 \Rightarrow -2y \ge 2 \Rightarrow y \le -1$.

Границей области решения является фигура, заданная уравнением $|x+y| + |x-y| = 2$. Из анализа по областям следует, что эта граница состоит из отрезков прямых $x=1, y=1, x=-1, y=-1$. Вместе эти отрезки образуют квадрат с вершинами в точках $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.

Чтобы определить, какая часть плоскости является решением (внутри или снаружи квадрата), возьмем пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$: $|0+0| + |0-0| = 0$. Так как $0 < 2$, точка $(0,0)$ не удовлетворяет неравенству. Следовательно, решением является область вне квадрата, включая его границу.

Ответ: Множество точек плоскости, лежащих на границе или вне квадрата с вершинами в точках $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.

94. a) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 1} \le 0$;

б) $|x| + |y| = 4$;

в) $\sqrt{x + y} \ge |x|$;

г) $\frac{xy+1}{xy-1} \ge \frac{y+1}{y-1}$.

a)

б)

в)

г)

Рис. 159

а)

Требуется найти множество точек на координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 1} \le 0$.

Дробь неположительна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки, либо когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + y^2 - 1 \ne 0 \implies x^2 + y^2 \ne 1$. Геометрически это означает, что мы исключаем из рассмотрения все точки, лежащие на окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Рассмотрим два случая:

1. Числитель $\ge 0$ и знаменатель $ < 0$.
$\begin{cases} x^2 - y^2 \ge 0 \\ x^2 + y^2 - 1 < 0 \end{cases}$
Первое неравенство $x^2 \ge y^2$ равносильно $|x| \ge |y|$. Это область, расположенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$, содержащая ось Ox.
Второе неравенство $x^2 + y^2 < 1$ задает внутреннюю часть круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 1.
Решением этой системы является пересечение двух указанных областей: два сектора внутри единичного круга (без границы), симметричные относительно оси Ox.

2. Числитель $\le 0$ и знаменатель $ > 0$.
$\begin{cases} x^2 - y^2 \le 0 \\ x^2 + y^2 - 1 > 0 \end{cases}$
Первое неравенство $x^2 \le y^2$ равносильно $|x| \le |y|$. Это область, расположенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$, содержащая ось Oy.
Второе неравенство $x^2 + y^2 > 1$ задает внешнюю часть круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 1.
Решением этой системы является пересечение двух указанных областей: два бесконечных сектора вне единичного круга, симметричные относительно оси Oy.

Общее решение неравенства является объединением решений этих двух систем. Граничные линии $x^2 - y^2 = 0$ (то есть прямые $y=x$ и $y=-x$) включаются в решение, за исключением точек их пересечения с окружностью $x^2+y^2=1$.

Ответ: Множество решений — это объединение двух областей. Первая область — это часть круга $x^2+y^2 < 1$, для которой выполняется $|x| \ge |y|$. Вторая область — это часть плоскости вне круга $x^2+y^2 > 1$, для которой выполняется $|x| \le |y|$. Также в решение входят прямые $y=x$ и $y=-x$, за исключением четырех точек их пересечения с единичной окружностью: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ и $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$.

б)

Требуется изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению $|x| + |y| = 4$.

Раскроем модули, рассмотрев четыре случая в зависимости от знаков $x$ и $y$.

1. Первая координатная четверть: $x \ge 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $x+y=4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(4,0)$ и $(0,4)$.

2. Вторая координатная четверть: $x < 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $-x+y=4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0,4)$ и $(-4,0)$.

3. Третья координатная четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-x-y=4$, или $x+y=-4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4,0)$ и $(0,-4)$.

4. Четвертая координатная четверть: $x \ge 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $x-y=4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0,-4)$ и $(4,0)$.

Объединение этих четырех отрезков образует замкнутую фигуру.

Ответ: Множество решений — это квадрат с вершинами в точках $(4,0)$, $(0,4)$, $(-4,0)$ и $(0,-4)$.

в)

Требуется найти множество точек, удовлетворяющих неравенству $\sqrt{x+y} \ge |x|$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+y \ge 0 \implies y \ge -x$. Это полуплоскость, лежащая на и выше прямой $y=-x$.

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x+y})^2 \ge (|x|)^2$
$x+y \ge x^2$
$y \ge x^2 - x$

Это неравенство задает область, лежащую на и выше параболы $y = x^2-x$. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$, ветви направлены вверх.

Теперь нужно учесть ОДЗ. Проверим, выполняется ли условие $y \ge -x$ для точек, удовлетворяющих $y \ge x^2-x$. Для этого достаточно проверить, лежит ли парабола $y=x^2-x$ выше прямой $y=-x$. Сравним $x^2-x$ и $-x$:
$x^2-x \ge -x \implies x^2 \ge 0$.
Это неравенство верно для любого $x$. Следовательно, любая точка на параболе или выше нее автоматически удовлетворяет условию $y \ge -x$. Таким образом, ОДЗ не накладывает дополнительных ограничений.

Ответ: Множество решений — это все точки $(x,y)$, лежащие на параболе $y=x^2-x$ и выше нее.

г)

Требуется найти множество точек, удовлетворяющих неравенству $\frac{xy+1}{xy-1} \ge \frac{y+1}{y-1}$.

Определим ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю.
$xy-1 \ne 0 \implies xy \ne 1$ (точки не лежат на гиперболе $y=1/x$).
$y-1 \ne 0 \implies y \ne 1$ (точки не лежат на прямой $y=1$).

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{xy+1}{xy-1} - \frac{y+1}{y-1} \ge 0$
$\frac{(xy+1)(y-1) - (y+1)(xy-1)}{(xy-1)(y-1)} \ge 0$
Раскроем скобки в числителе:
$(xy^2 - xy + y - 1) - (xy^2 - y + xy - 1) = xy^2 - xy + y - 1 - xy^2 + y - xy + 1 = 2y - 2xy = 2y(1-x)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{2y(1-x)}{(xy-1)(y-1)} \ge 0$
или
$\frac{y(1-x)}{(xy-1)(y-1)} \ge 0$

Решим это неравенство методом областей. Границы областей — это кривые, на которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $y=0$, $x=1$, $y=1/x$ и $y=1$. Эти кривые делят координатную плоскость на несколько областей. Определим знак выражения в каждой из них, выбрав по одной пробной точке.

Исследование знака выражения $\frac{y(1-x)}{(xy-1)(y-1)}$ в различных областях показывает, что оно неотрицательно в следующих случаях:

• Когда $x>1$ и ($y<0$ или $1/x < y < 1$).
• Когда $0<x<1$ и ($0<y<1$ или $y>1/x$).
• Когда $x<0$ и ($0<y<1$ или $y<1/x$).
• Когда числитель равен нулю, то есть $y=0$ или $x=1$ (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Объединяя эти области и включая границы (с учетом ОДЗ), получаем итоговое множество.

Ответ: Множество решений является объединением следующих множеств точек $(x,y)$:
1. Область, заданная неравенствами $x \le 1$ и $0 < y < 1$.
2. Область, заданная неравенствами $x > 1$ и $1/x < y < 1$.
3. Область, заданная неравенствами $0 < x \le 1$ и $y > 1/x$.
4. Область, заданная неравенствами $x > 1$ и $y < 0$.
5. Область, заданная неравенствами $x < 0$ и $y < 1/x$.
6. Вся ось абсцисс, то есть прямая $y=0$.