Страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

44. Найдите трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего данного на 400, — арифметическую.

Пусть искомое трехзначное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $100a + 10b + c$.

По условию, $a, b, c$ являются цифрами, то есть целыми числами от 0 до 9. Так как число трехзначное, $a \ne 0$, следовательно, $1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$, $0 \le c \le 9$.

Условие геометрической прогрессии

Цифры $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что существует знаменатель прогрессии $q$ такой, что $b = aq$ и $c = bq = aq^2$. Основное свойство геометрической прогрессии для трех членов: квадрат среднего члена равен произведению крайних. Таким образом, $b^2 = ac$.

Условие арифметической прогрессии

Рассмотрим второе число, которое на 400 меньше данного. Его значение равно $(100a + 10b + c) - 400 = 100(a-4) + 10b + c$.

Поскольку исходное число должно быть больше 400, первая цифра $a$ должна быть не меньше 4, то есть $a \ge 4$.

Цифры нового числа — это $a' = a-4$, $b' = b$ и $c' = c$. Эти три цифры образуют арифметическую прогрессию. Основное свойство арифметической прогрессии для трех членов: удвоенный средний член равен сумме крайних. Таким образом, $2b' = a' + c'$, что в наших обозначениях выглядит как $2b = (a-4) + c$.

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений относительно цифр $a, b, c$:

$\begin{cases} b^2 = ac \\ 2b = a - 4 + c \end{cases}$

Выразим $c$ из второго уравнения: $c = 2b - a + 4$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$b^2 = a(2b - a + 4)$

$b^2 = 2ab - a^2 + 4a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $b$:

$b^2 - 2ab + (a^2 - 4a) = 0$

Решим это уравнение для $b$, используя формулу для корней квадратного уравнения, где $a$ выступает в роли параметра:

$b = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a)}}{2 \cdot 1} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4a^2 + 16a}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{16a}}{2} = \frac{2a \pm 4\sqrt{a}}{2}$

$b = a \pm 2\sqrt{a}$

Поскольку $a$ и $b$ — это цифры (целые числа), выражение $2\sqrt{a}$ должно быть целым числом. Это возможно только если $a$ является полным квадратом.

Учитывая ранее установленное ограничение $4 \le a \le 9$, возможные значения для $a$ — это $4$ и $9$.

Случай 1: $a = 4$

Подставляем $a=4$ в формулу для $b$:

$b = 4 \pm 2\sqrt{4} = 4 \pm 2 \cdot 2 = 4 \pm 4$.

Получаем два возможных значения для $b$.

Первый вариант: $b = 4 + 4 = 8$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(8) - 4 + 4 = 16$. Это значение не является цифрой, поэтому этот вариант не подходит.

Второй вариант: $b = 4 - 4 = 0$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(0) - 4 + 4 = 0$. Цифры $a=4, b=0, c=0$ являются допустимыми.

Проверим найденное число 400. Его цифры (4, 0, 0) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=0$. Число, меньшее на 400, это $400 - 400 = 0$. Цифры этого числа (можно представить как 0, 0, 0) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=0$. Условия выполнены.

Случай 2: $a = 9$

Подставляем $a=9$ в формулу для $b$:

$b = 9 \pm 2\sqrt{9} = 9 \pm 2 \cdot 3 = 9 \pm 6$.

Получаем два возможных значения для $b$.

Первый вариант: $b = 9 + 6 = 15$. Это значение не является цифрой, поэтому этот вариант не подходит.

Второй вариант: $b = 9 - 6 = 3$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(3) - 9 + 4 = 1$. Цифры $a=9, b=3, c=1$ являются допустимыми.

Проверим найденное число 931. Его цифры (9, 3, 1) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1/3$. Число, меньшее на 400, это $931 - 400 = 531$. Его цифры (5, 3, 1) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=-2$. Условия выполнены.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа.

Ответ: 400, 931.

45. При каком значении $a$ найдутся такие $x$, что числа $5^{1+x} + 5^{1-x}$, $\frac{a}{2}$, $25^x + 25^{-x}$ (в указанном порядке) составляют арифметическую прогрессию?

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы средний член был равен среднему арифметическому крайних членов: $b_2 = \frac{b_1 + b_3}{2}$.

В данном случае имеем:

$b_1 = 5^{1+x} + 5^{1-x}$

$b_2 = \frac{a}{2}$

$b_3 = 25^x + 25^{-x}$

Подставим эти выражения в условие арифметической прогрессии:

$\frac{a}{2} = \frac{(5^{1+x} + 5^{1-x}) + (25^x + 25^{-x})}{2}$

Умножив обе части на 2, получим выражение для $a$:

$a = 5^{1+x} + 5^{1-x} + 25^x + 25^{-x}$

Преобразуем правую часть уравнения:

$5^{1+x} + 5^{1-x} = 5 \cdot 5^x + 5 \cdot 5^{-x} = 5(5^x + 5^{-x})$

$25^x + 25^{-x} = (5^2)^x + (5^2)^{-x} = (5^x)^2 + (5^{-x})^2$

Тогда уравнение для $a$ примет вид:

$a = 5(5^x + 5^{-x}) + (5^x)^2 + (5^{-x})^2$

Задача сводится к нахождению всех значений $a$, при которых это уравнение имеет хотя бы одно решение относительно $x$. Для этого найдем множество значений, которые может принимать правая часть уравнения.

Сделаем замену. Пусть $y = 5^x + 5^{-x}$.

Найдем область значений переменной $y$. Так как $5^x > 0$, мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши):

$y = 5^x + 5^{-x} \ge 2\sqrt{5^x \cdot 5^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$

Равенство достигается при $5^x = 5^{-x}$, то есть при $x=0$. Таким образом, множество значений $y$ — это промежуток $[2, +\infty)$.

Теперь выразим второе слагаемое в уравнении для $a$ через $y$:

$y^2 = (5^x + 5^{-x})^2 = (5^x)^2 + 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} + (5^{-x})^2 = (5^x)^2 + 2 + (5^{-x})^2$

Отсюда $(5^x)^2 + (5^{-x})^2 = y^2 - 2$.

Подставим выражения через $y$ в уравнение для $a$:

$a = 5y + (y^2 - 2) = y^2 + 5y - 2$

Теперь нам нужно найти множество значений функции $f(y) = y^2 + 5y - 2$ при условии, что $y \in [2, +\infty)$.

Функция $f(y)$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата вершины параболы по оси абсцисс:

$y_v = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$

Поскольку вершина параболы находится в точке $y = -2.5$, а мы рассматриваем функцию на промежутке $[2, +\infty)$, то на этом промежутке функция $f(y)$ является строго возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение функции на данном промежутке достигается в его начальной точке, то есть при $y=2$:

$a_{min} = f(2) = 2^2 + 5 \cdot 2 - 2 = 4 + 10 - 2 = 12$

Так как функция $f(y)$ возрастает и не ограничена сверху на промежутке $[2, +\infty)$, она принимает все значения от своего минимального значения $12$ и выше.

Таким образом, для того чтобы существовал такой $x$, что данные числа образуют арифметическую прогрессию, параметр $a$ должен принадлежать множеству значений функции $f(y)$, то есть $a \ge 12$.

Ответ: $a \ge 12$.

46. Числа $x, y, z$ (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа $x + y, y + z, z + x$ — арифметическую. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Пусть $q$ – знаменатель геометрической прогрессии, членами которой являются числа $x, y, z$. Тогда эти числа можно выразить через первый член $x$ и знаменатель $q$:
$y = xq$
$z = xq^2$

По условию задачи, числа $a_1 = x+y$, $a_2 = y+z$ и $a_3 = z+x$ образуют арифметическую прогрессию.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов состоит в том, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних членов:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$
Или, в другом виде:
$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим в это равенство выражения для членов арифметической прогрессии:
$2(y+z) = (x+y) + (z+x)$

Упростим полученное уравнение:
$2y + 2z = 2x + y + z$
$2y - y + 2z - z = 2x$
$y + z = 2x$

Теперь заменим $y$ и $z$ их выражениями через $x$ и $q$ из определения геометрической прогрессии:
$xq + xq^2 = 2x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем $x$ за скобки:
$xq^2 + xq - 2x = 0$
$x(q^2 + q - 2) = 0$

Это уравнение истинно, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1. $x=0$. Если первый член прогрессии равен нулю, то $y=0$ и $z=0$. Геометрическая прогрессия — это $0, 0, 0$. Арифметическая прогрессия — это $(0+0), (0+0), (0+0)$, то есть $0, 0, 0$. Условия задачи выполняются, но знаменатель $q$ в этом случае не определен однозначно ($y/x = 0/0$). Поэтому обычно в таких задачах рассматривают случай, когда $x \neq 0$.

2. $x \neq 0$. В этом случае для выполнения равенства $x(q^2 + q - 2) = 0$ необходимо, чтобы выражение в скобках было равно нулю:
$q^2 + q - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $q$. Мы можем решить его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются числа $1$ и $-2$.
$q_1 = 1$
$q_2 = -2$

Оба значения являются решением задачи:

- При $q=1$ геометрическая прогрессия имеет вид $x, x, x$ (все члены равны). Арифметическая прогрессия тогда будет $(x+x), (x+x), (x+x)$, то есть $2x, 2x, 2x$. Это является арифметической прогрессией с разностью $d=0$.

- При $q=-2$ геометрическая прогрессия имеет вид $x, -2x, 4x$. Арифметическая прогрессия будет $(x-2x), (-2x+4x), (4x+x)$, то есть $-x, 2x, 5x$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=3x$.

Поскольку в условии задачи не сказано, что члены прогрессии должны быть различны, оба найденных значения знаменателя являются правильными.

Ответ: -2; 1.

47. Известно, что суммы первых $m$ и $n$ членов арифметической прогрессии равны, т. е. $S_m = S_n$. Найдите $S_{m+n}$.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

Формула для суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии имеет вид:

$S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$

По условию задачи, суммы первых $m$ и $n$ членов равны, то есть $S_m = S_n$. Будем считать, что $m \neq n$, так как в противном случае условие является тривиальным и не позволяет однозначно определить $S_{m+n}$.

Запишем равенство $S_m = S_n$ с использованием формулы суммы:

$\frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$(2a_1 + (m-1)d) \cdot m = (2a_1 + (n-1)d) \cdot n$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2a_1m + m(m-1)d = 2a_1n + n(n-1)d$

Сгруппируем слагаемые: перенесем все члены с $a_1$ в левую часть, а все члены с $d$ — в правую.

$2a_1m - 2a_1n = n(n-1)d - m(m-1)d$

Вынесем общие множители за скобки:

$2a_1(m-n) = [n(n-1) - m(m-1)]d$

Упростим выражение в квадратных скобках в правой части:

$n(n-1) - m(m-1) = n^2 - n - (m^2 - m) = n^2 - n - m^2 + m$

Сгруппируем члены и применим формулу разности квадратов $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$:

$(n^2 - m^2) - (n - m) = (n-m)(n+m) - (n-m) = (n-m)(n+m-1)$

Подставим это преобразованное выражение обратно в наше уравнение:

$2a_1(m-n) = (n-m)(m+n-1)d$

Поскольку мы предположили, что $m \neq n$, то $m-n \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(m-n)$. Заметим, что $(n-m) = -(m-n)$.

$2a_1(m-n) = -(m-n)(m+n-1)d$

После деления на $(m-n)$ получаем:

$2a_1 = -(m+n-1)d$

Перенеся правую часть налево, получим важное соотношение:

$2a_1 + (m+n-1)d = 0$

Теперь нам нужно найти $S_{m+n}$. Запишем формулу для суммы первых $m+n$ членов:

$S_{m+n} = \frac{2a_1 + ((m+n)-1)d}{2} \cdot (m+n)$

Обратим внимание, что выражение в числителе дроби, $2a_1 + (m+n-1)d$, — это в точности то выражение, которое мы вывели ранее и которое равно нулю.

Подставим это значение в формулу для $S_{m+n}$:

$S_{m+n} = \frac{0}{2} \cdot (m+n) = 0 \cdot (m+n) = 0$

Таким образом, сумма первых $m+n$ членов данной арифметической прогрессии равна нулю.

Ответ: $0$

48. Найдите произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии, если известна их сумма $A$ и сумма обратных к ним величин $B$ ($B \neq 0$).

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Общий член прогрессии задается формулой $b_k = b_1 q^{k-1}$.

По условию задачи, сумма первых $n$ членов прогрессии равна $A$:$A = S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n = \sum_{k=1}^{n} b_1 q^{k-1}$

Сумма обратных к ним величин равна $B$:$B = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{b_1 q^{k-1}}$

Так как $B \neq 0$, все члены прогрессии $b_k$ отличны от нуля, следовательно $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.

Для нахождения произведения первых $n$ членов, $P_n = b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_n$, сначала установим связь между $A$ и $B$.

Рассмотрим сумму $B$. Последовательность обратных величин $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \dots, \frac{1}{b_n}$ также является геометрической прогрессией, но с первым членом $\frac{1}{b_1}$ и знаменателем $\frac{1}{q}$. Преобразуем выражение для $B$, приведя дроби к общему знаменателю $b_1 q^{n-1}$:

$B = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1 q} + \dots + \frac{1}{b_1 q^{n-1}} = \frac{q^{n-1} + q^{n-2} + \dots + q + 1}{b_1 q^{n-1}}$

Числитель в этом выражении представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем $q$. Мы можем связать его с суммой $A$:

$1 + q + \dots + q^{n-1} = \frac{b_1(1 + q + \dots + q^{n-1})}{b_1} = \frac{A}{b_1}$

Подставим это в выражение для $B$:

$B = \frac{A/b_1}{b_1 q^{n-1}} = \frac{A}{b_1^2 q^{n-1}}$

Из этого соотношения выразим отношение $\frac{A}{B}$:

$\frac{A}{B} = b_1^2 q^{n-1}$

Заметим, что $b_1^2 q^{n-1} = b_1 \cdot (b_1 q^{n-1}) = b_1 \cdot b_n$, то есть отношение суммы членов прогрессии к сумме их обратных величин равно произведению первого и последнего членов.

Теперь найдем искомое произведение $P_n$:

$P_n = b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_n = \prod_{k=1}^{n} b_1 q^{k-1}$

Сгруппируем множители $b_1$ и $q$:

$P_n = (b_1 \cdot b_1 \cdot \dots \cdot b_1) \cdot (q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot \dots \cdot q^{n-1}) = b_1^n q^{0+1+2+\dots+(n-1)}$

Сумма в показателе степени $q$ является суммой первых $n-1$ натуральных чисел, которая равна $\frac{n(n-1)}{2}$.

Таким образом, произведение равно:

$P_n = b_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Чтобы выразить $P_n$ через $A$ и $B$, преобразуем полученное выражение, используя свойства степеней:

$P_n = (b_1^2)^{\frac{n}{2}} \cdot (q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = (b_1^2 q^{n-1})^{\frac{n}{2}}$

Ранее мы нашли, что $b_1^2 q^{n-1} = \frac{A}{B}$. Подставим это в выражение для $P_n$:

$P_n = \left(\frac{A}{B}\right)^{\frac{n}{2}}$

Ответ: Произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии равно $\left(\frac{A}{B}\right)^{\frac{n}{2}}$.

49. Члены арифметической ($a_n$) и геометрической ($b_n$) прогрессий удовлетворяют условиям $a_{40} = b_{40} > 0, a_{60} = b_{60} > 0$. Что больше: $a_{50}$ или $b_{50}$?

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, а $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.

Из условия задачи нам известно, что $a_{40} = b_{40} > 0$ и $a_{60} = b_{60} > 0$. Давайте введем обозначения для этих значений: пусть $x = a_{40} = b_{40}$ и $y = a_{60} = b_{60}$. По условию, $x > 0$ и $y > 0$.

Наша задача — сравнить $a_{50}$ и $b_{50}$.

Сначала найдем выражение для $a_{50}$. Индекс 50 находится ровно посередине между индексами 40 и 60. По свойству арифметической прогрессии, любой ее член является средним арифметическим членов, равноотстоящих от него. Следовательно, $a_{50}$ является средним арифметическим $a_{40}$ и $a_{60}$:

$a_{50} = \frac{a_{40} + a_{60}}{2} = \frac{x + y}{2}$

Теперь найдем выражение для $b_{50}$. По аналогии, для геометрической прогрессии, член, стоящий между двумя другими, является их средним геометрическим, при условии что члены положительны. Так как $b_{40} = x > 0$ и $b_{60} = y > 0$, то и знаменатель прогрессии $q$ должен быть положительным (иначе знаки $b_{40}$ и $b_{60}$ были бы разными), а значит и $b_{50}$ будет положительным. Таким образом:

$b_{50} = \sqrt{b_{40} \cdot b_{60}} = \sqrt{x \cdot y}$

Теперь нам нужно сравнить $a_{50} = \frac{x+y}{2}$ и $b_{50} = \sqrt{xy}$. Для этого рассмотрим их разность:

$a_{50} - b_{50} = \frac{x+y}{2} - \sqrt{xy}$

Приведем к общему знаменателю и преобразуем числитель:

$a_{50} - b_{50} = \frac{x + y - 2\sqrt{xy}}{2} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2}{2} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{2}$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0$. Так как знаменатель 2 положителен, то и вся дробь неотрицательна:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{2} \ge 0$

Следовательно, $a_{50} - b_{50} \ge 0$, что эквивалентно $a_{50} \ge b_{50}$.

Равенство $a_{50} = b_{50}$ достигается только в том случае, когда $a_{50} - b_{50} = 0$, то есть когда $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 0$. Это возможно, только если $\sqrt{x} = \sqrt{y}$, или $x = y$. Если $x=y$, то $a_{40} = a_{60}$ и $b_{40} = b_{60}$, что означает, что арифметическая прогрессия имеет разность $d=0$, а геометрическая — знаменатель $q=1$. В этом случае обе прогрессии являются постоянными, и все их члены равны, включая $a_{50}$ и $b_{50}$.

Если же прогрессии не постоянны, то $x \neq y$, и тогда неравенство становится строгим: $a_{50} > b_{50}$.

Таким образом, член арифметической прогрессии $a_{50}$ всегда больше или равен соответствующему члену геометрической прогрессии $b_{50}$.

Ответ: $a_{50} \ge b_{50}$.

50. Найдите сумму:

а) $1 + 11 + \dots + \underbrace{111\dots1}_{n \text{ единиц}};$

б) $x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n;$

в) $\frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} + \dots + \frac{1}{(k+n-1)(k+n)};$

г) $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx.$

а)

Обозначим сумму через $S_n$. Общий член суммы $a_k$ представляет собой число, состоящее из $k$ единиц. Его можно записать как:

$a_k = \underbrace{11...1}_{k} = \sum_{i=0}^{k-1} 10^i$

Это сумма геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем 10 и $k$ членами. Ее сумма равна:

$a_k = \frac{10^k - 1}{10 - 1} = \frac{10^k - 1}{9}$

Тогда искомая сумма $S_n$ будет:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9} = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1)$

Разобьем сумму на две части:

$S_n = \frac{1}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$

Первая часть, $\sum_{k=1}^{n} 10^k = 10 + 10^2 + ... + 10^n$, является суммой геометрической прогрессии с первым членом 10, знаменателем 10 и $n$ членами. Ее сумма равна:

$\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9}$

Вторая часть суммы равна:

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

Подставим обе части обратно в выражение для $S_n$:

$S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right) = \frac{1}{81} (10(10^n - 1) - 9n) = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$

Ответ: $\frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}$

б)

Обозначим искомую сумму через $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} kx^k$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $x = 1$, то сумма представляет собой сумму арифметической прогрессии:

$S_n(1) = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

2. Если $x \neq 1$. Рассмотрим сумму геометрической прогрессии:

$G(x) = \sum_{k=0}^{n} x^k = 1 + x + x^2 + ... + x^n = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$

Продифференцируем обе части по $x$:

$G'(x) = \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{n} x^k = \sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} = 1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1}$

Найдем производную от правой части выражения для $G(x)$:

$G'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1} \right) = \frac{(n+1)x^n(x - 1) - (x^{n+1} - 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{(n+1)x^{n+1} - (n+1)x^n - x^{n+1} + 1}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}$

Наша искомая сумма $S_n(x)$ связана с $G'(x)$ следующим образом:

$S_n(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + nx^n = x(1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1}) = x G'(x)$

Следовательно:

$S_n(x) = x \cdot \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} + x}{(x-1)^2}$

Ответ: Если $x=1$, то сумма равна $\frac{n(n+1)}{2}$. Если $x \neq 1$, то сумма равна $\frac{nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} + x}{(x-1)^2}$.

в)

Данная сумма является телескопической. Общий член ряда $a_m$ (где $m$ меняется от 1 до $n$) имеет вид $\frac{1}{(k+m-1)(k+m)}$.

Представим каждый член суммы в виде разности двух дробей (метод неопределенных коэффициентов):

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

Приводя к общему знаменателю, получаем $1 = A(x+1) + Bx$.

При $x=0$, $1=A$. При $x=-1$, $1=-B$, откуда $B=-1$.

Таким образом, $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.

Применим это к нашему общему члену, положив $x = k+m-1$:

$\frac{1}{(k+m-1)(k+m)} = \frac{1}{k+m-1} - \frac{1}{k+m}$

Теперь запишем всю сумму $S_n$:

$S_n = \sum_{m=1}^{n} \left(\frac{1}{k+m-1} - \frac{1}{k+m}\right)$

Расписав слагаемые, получим:

$S_n = \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) + \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right) + \left(\frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{k+n-1} - \frac{1}{k+n}\right)$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются. Остаются только первый член из первого слагаемого и последний член из последнего слагаемого:

$S_n = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+n}$

Приведем результат к общему знаменателю:

$S_n = \frac{k+n - k}{k(k+n)} = \frac{n}{k(k+n)}$

Ответ: $\frac{n}{k(k+n)}$

г)

Обозначим сумму через $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \sin(kx)$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $x = 2\pi m$ для некоторого целого $m$, то $\sin(kx) = \sin(k \cdot 2\pi m) = 0$ для любого $k$. В этом случае вся сумма равна нулю: $S_n(x) = 0$.

2. Если $x \neq 2\pi m$. Для нахождения суммы воспользуемся методом, основанным на использовании комплексных чисел. Искомая сумма является мнимой частью суммы комплексных экспонент:

$S_n(x) = \text{Im} \left( \sum_{k=1}^{n} e^{ikx} \right)$

Сумма $\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}$ представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = e^{ix}$ и знаменателем $q = e^{ix}$. Поскольку $x \neq 2\pi m$, то $q \neq 1$.

Сумма этой прогрессии равна:

$\sum_{k=1}^{n} (e^{ix})^k = \frac{a_1(q^n - 1)}{q-1} = \frac{e^{ix}((e^{ix})^n - 1)}{e^{ix} - 1} = \frac{e^{ix}(e^{inx} - 1)}{e^{ix} - 1}$

Преобразуем это выражение, чтобы выделить действительную и мнимую части:

$\frac{e^{ix} \cdot e^{inx/2} (e^{inx/2} - e^{-inx/2})}{e^{ix/2} (e^{ix/2} - e^{-ix/2})} = \frac{e^{i(x + nx/2)} \cdot 2i \sin(nx/2)}{e^{ix/2} \cdot 2i \sin(x/2)}$

$= e^{i(x + nx/2 - x/2)} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)} = e^{i(n+1)x/2} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

Используя формулу Эйлера $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, получаем:

$\left( \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) + i \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \right) \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

Искомая сумма $S_n(x)$ равна мнимой части этого выражения:

$S_n(x) = \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

Ответ: Если $x = 2\pi m$ (где $m \in \mathbb{Z}$), то сумма равна 0. В противном случае сумма равна $\frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}$.

51. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{\sqrt{|x|-x}}{\operatorname{tg} 2x};$

б) $y = \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{\cos x};$

в) $y = \frac{\arcsin 0,5x}{\sqrt{x^2-1}};$

г) $y = \sqrt{\cos (\sin x)};$

д) $y = \log_{2 \sin x} \cos x;$

е) $y = \frac{1}{\lg (1 - \sqrt{x^2 - 1})}.$

а) $y = \frac{\sqrt{|x|-x}}{\text{tg}\,2x}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $|x|-x \ge 0$.
Это неравенство равносильно $|x| \ge x$. Оно выполняется для всех действительных чисел $x$, так как:

• если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и неравенство принимает вид $x \ge x$, что верно.
• если $x < 0$, то $|x|=-x$, и неравенство принимает вид $-x \ge x$, что равносильно $0 \ge 2x$, или $x \le 0$, что также верно для данного случая.

Следовательно, это условие выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\text{tg}\,2x \ne 0$.
Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$ для любого целого $n$. Значит, $2x \ne \pi n \implies x \ne \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3. Функция тангенса должна быть определена.
$\text{tg}\,2x$ определен, если $\cos 2x \ne 0$. Это означает, что аргумент $2x$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. Значит, $2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя ограничения на знаменатель, получаем, что $x$ не может принимать значения вида $\frac{\pi n}{2}$ и $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Вместе эти точки образуют множество $x = \frac{\pi m}{4}$ для всех целых $m$.

Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}\}$.

б) $y = \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{\cos x}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $8-2x-x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак: $x^2+2x-8 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2+2x-8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y=x^2+2x-8$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-4 \le x \le 2$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\cos x \ne 0$.
Косинус равен нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Нужно найти, какие из этих точек попадают в отрезок $[-4, 2]$.
При $k=0: x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Это значение входит в отрезок $[-4, 2]$.
При $k=-1: x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Это значение также входит в отрезок $[-4, 2]$.
При других целых $k$ значения $x$ выходят за пределы отрезка $[-4, 2]$.
Следовательно, из отрезка $[-4, 2]$ нужно исключить точки $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $D(y) = [-4, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2]$.

в) $y = \frac{\arcsin(0.5x)}{\sqrt{x^2-1}}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Аргумент арксинуса должен находиться в пределах от $-1$ до $1$: $-1 \le 0.5x \le 1$.
Умножив на 2, получим: $-2 \le x \le 2$, то есть $x \in [-2, 2]$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку корень в знаменателе): $x^2-1 > 0$.
$x^2 > 1 \implies |x| > 1$, что равносильно $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Для нахождения области определения нужно найти пересечение множеств, полученных из двух условий: $x \in [-2, 2] \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.
Пересечение $[-2, 2]$ с $(-\infty, -1)$ дает $[-2, -1)$.
Пересечение $[-2, 2]$ с $(1, \infty)$ дает $(1, 2]$.
Объединяя эти интервалы, получаем итоговый результат.

Ответ: $D(y) = [-2, -1) \cup (1, 2]$.

г) $y = \sqrt{\cos(\sin x)}$

Область определения функции находится из условия, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\cos(\sin x) \ge 0$.

Пусть $u = \sin x$. Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $u \in [-1, 1]$.
Неравенство принимает вид $\cos u \ge 0$ при $u \in [-1, 1]$.
Функция косинуса неотрицательна на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим промежуток при $k=0$: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В числах это примерно $[-1.57, 1.57]$.
Так как область значений $u = \sin x$, то есть отрезок $[-1, 1]$, полностью содержится в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором косинус неотрицателен, то условие $\cos(\sin x) \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

д) $y = \log_{2 \sin x}(\cos x)$

Область определения логарифмической функции $\log_b a$ задается системой условий:

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $a > 0 \implies \cos x > 0$.
2. Основание логарифма должно быть положительно: $b > 0 \implies 2 \sin x > 0 \implies \sin x > 0$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $b \ne 1 \implies 2 \sin x \ne 1 \implies \sin x \ne \frac{1}{2}$.

Условия $\cos x > 0$ и $\sin x > 0$ выполняются одновременно только в первой координатной четверти. Это соответствует интервалам $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем третье условие: $\sin x \ne \frac{1}{2}$.
В первой четверти уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет решение $x = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, из найденных интервалов нужно исключить точки $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения состоит из интервалов первой четверти, из которых выколота точка, где синус равен $1/2$.

Ответ: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \right)$.

е) $y = \frac{1}{\lg(1-\sqrt{x^2-1})}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2-1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies |x| \ge 1$.

2. Аргумент десятичного логарифма $(\lg)$ должен быть строго положительным: $1 - \sqrt{x^2-1} > 0 \implies 1 > \sqrt{x^2-1}$.
Так как обе части неравенства неотрицательны (левая равна 1, правая - корень), можно возвести в квадрат: $1^2 > x^2-1 \implies 2 > x^2 \implies |x| < \sqrt{2}$.

3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg(1 - \sqrt{x^2-1}) \ne 0$.
Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1. $1 - \sqrt{x^2-1} \ne 1 \implies -\sqrt{x^2-1} \ne 0 \implies x^2-1 \ne 0 \implies |x| \ne 1$.

Объединим все условия: Из (1) и (2) получаем: $1 \le |x| < \sqrt{2}$.
Это соответствует объединению интервалов $(-\sqrt{2}, -1] \cup [1, \sqrt{2})$.
Из (3) мы должны исключить точки $x=1$ и $x=-1$.
Исключая эти точки из полученного множества, получаем открытые интервалы.

Ответ: $D(y) = (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$.