Номер 48, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 48, страница 319.

Условие.

48. Найдите произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии, если известна их сумма $A$ и сумма обратных к ним величин $B$ ($B \neq 0$).

Решение 5.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Общий член прогрессии задается формулой $b_k = b_1 q^{k-1}$.

По условию задачи, сумма первых $n$ членов прогрессии равна $A$:$A = S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n = \sum_{k=1}^{n} b_1 q^{k-1}$

Сумма обратных к ним величин равна $B$:$B = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{b_1 q^{k-1}}$

Так как $B \neq 0$, все члены прогрессии $b_k$ отличны от нуля, следовательно $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.

Для нахождения произведения первых $n$ членов, $P_n = b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_n$, сначала установим связь между $A$ и $B$.

Рассмотрим сумму $B$. Последовательность обратных величин $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \dots, \frac{1}{b_n}$ также является геометрической прогрессией, но с первым членом $\frac{1}{b_1}$ и знаменателем $\frac{1}{q}$. Преобразуем выражение для $B$, приведя дроби к общему знаменателю $b_1 q^{n-1}$:

$B = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1 q} + \dots + \frac{1}{b_1 q^{n-1}} = \frac{q^{n-1} + q^{n-2} + \dots + q + 1}{b_1 q^{n-1}}$

Числитель в этом выражении представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем $q$. Мы можем связать его с суммой $A$:

$1 + q + \dots + q^{n-1} = \frac{b_1(1 + q + \dots + q^{n-1})}{b_1} = \frac{A}{b_1}$

Подставим это в выражение для $B$:

$B = \frac{A/b_1}{b_1 q^{n-1}} = \frac{A}{b_1^2 q^{n-1}}$

Из этого соотношения выразим отношение $\frac{A}{B}$:

$\frac{A}{B} = b_1^2 q^{n-1}$

Заметим, что $b_1^2 q^{n-1} = b_1 \cdot (b_1 q^{n-1}) = b_1 \cdot b_n$, то есть отношение суммы членов прогрессии к сумме их обратных величин равно произведению первого и последнего членов.

Теперь найдем искомое произведение $P_n$:

$P_n = b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_n = \prod_{k=1}^{n} b_1 q^{k-1}$

Сгруппируем множители $b_1$ и $q$:

$P_n = (b_1 \cdot b_1 \cdot \dots \cdot b_1) \cdot (q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot \dots \cdot q^{n-1}) = b_1^n q^{0+1+2+\dots+(n-1)}$

Сумма в показателе степени $q$ является суммой первых $n-1$ натуральных чисел, которая равна $\frac{n(n-1)}{2}$.

Таким образом, произведение равно:

$P_n = b_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Чтобы выразить $P_n$ через $A$ и $B$, преобразуем полученное выражение, используя свойства степеней:

$P_n = (b_1^2)^{\frac{n}{2}} \cdot (q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = (b_1^2 q^{n-1})^{\frac{n}{2}}$

Ранее мы нашли, что $b_1^2 q^{n-1} = \frac{A}{B}$. Подставим это в выражение для $P_n$:

$P_n = \left(\frac{A}{B}\right)^{\frac{n}{2}}$

Ответ: Произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии равно $\left(\frac{A}{B}\right)^{\frac{n}{2}}$.