Номер 54, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 54, страница 320.

Условие.

54. a) $y = \cos^2 x + \cos^4 x;$

б) $y = [x]^2;$

в) $y = 3 \sin^2 x - 4 \sin x - 2;$

г) $y = \left\{ \frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}} \right\}.$

Решение 5.

а) $y = \cos^2 x + \cos^4 x$

Для нахождения области значений данной функции введем замену переменной. Пусть $t = \cos^2 x$.

Поскольку область значений функции $\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то для $t = \cos^2 x$ область значений будет отрезком $[0, 1]$.

После замены исходная функция примет вид $y(t) = t + t^2$ или $y(t) = t^2 + t$, где $t \in [0, 1]$. Нам необходимо найти область значений этой квадратичной функции на заданном отрезке.

Графиком функции $y(t) = t^2 + t$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен. Найдем координату вершины параболы по оси абсцисс: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$.

Вершина параболы $t_v = -0.5$ не принадлежит отрезку $[0, 1]$, она находится левее этого отрезка. Это означает, что на отрезке $[0, 1]$ функция $y(t)$ монотонно возрастает. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в левой границе отрезка ($t=0$), а наибольшее — в правой ($t=1$).

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $t=0$: $y(0) = 0^2 + 0 = 0$. Это наименьшее значение функции.

При $t=1$: $y(1) = 1^2 + 1 = 2$. Это наибольшее значение функции.

Так как функция непрерывна, ее область значений — это отрезок между наименьшим и наибольшим значениями.

Ответ: $E(y) = [0, 2]$.

б) $y = [x]^2$

В данной функции $y = [x]^2$ выражение $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ (также известную как функция "пол" или "антье"), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

По определению, целая часть числа $x$ может быть любым целым числом. Обозначим $[x] = k$, где $k \in \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Тогда функция принимает вид $y = k^2$. Значениями функции $y$ являются квадраты всех целых чисел.

Например:

Если $k = 0$ (например, для $x \in [0, 1)$), то $y = 0^2 = 0$.

Если $k = \pm 1$ (например, для $x \in [1, 2)$ или $x \in [-1, 0)$), то $y = (\pm 1)^2 = 1$.

Если $k = \pm 2$ (например, для $x \in [2, 3)$ или $x \in [-2, -1)$), то $y = (\pm 2)^2 = 4$.

И так далее. Множество значений функции состоит из всех неотрицательных целых чисел, которые являются полными квадратами.

Ответ: $\{0, 1, 4, 9, 16, ...\}$, или в виде множества $\{n^2 \mid n \in \mathbb{Z}\}$.

в) $y = 3 \sin^2 x - 4 \sin x - 2$

Для нахождения области значений этой функции воспользуемся заменой переменной. Пусть $t = \sin x$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, переменная $t$ может принимать любые значения из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.

После подстановки получаем квадратичную функцию от $t$: $y(t) = 3t^2 - 4t - 2$. Наша задача — найти ее область значений на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=3 > 0$). Найдем координаты ее вершины.

Абсцисса вершины: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Значение $t_v = \frac{2}{3}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке вершины функция достигает своего наименьшего значения на этом отрезке.

Наименьшее значение функции: $y_{min} = y(\frac{2}{3}) = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) - 2 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4-8-6}{3} = -\frac{10}{3}$.

Наибольшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Сравним значения функции в точках $t=-1$ и $t=1$.

При $t=-1$: $y(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) - 2 = 3 + 4 - 2 = 5$.

При $t=1$: $y(1) = 3(1)^2 - 4(1) - 2 = 3 - 4 - 2 = -3$.

Сравнивая полученные значения ($-\frac{10}{3}$, $5$ и $-3$), видим, что наименьшее значение равно $-\frac{10}{3}$, а наибольшее равно $5$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{10}{3}, 5]$.

г) $y = \{\frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}}\}$

Функция задана как $y = \{z\}$, где $z = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}}$ и $\{z\}$ обозначает дробную часть числа $z$. По определению, $\{z\} = z - [z]$, где $[z]$ — целая часть числа $z$. Область значений функции дробной части — полуинтервал $[0, 1)$.

Для начала найдем область значений выражения $z = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}}$.

Рассмотрим знаменатель $x^2 + \frac{1}{2}$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то знаменатель $x^2 + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}$.

Наименьшее значение знаменатель принимает при $x=0$, и оно равно $\frac{1}{2}$. В этой точке $z$ достигает своего наибольшего значения: $z_{max} = \frac{1}{1/2} = 2$.

При $x \to \pm\infty$, знаменатель $x^2 + \frac{1}{2} \to +\infty$, и, следовательно, $z \to 0$. Так как знаменатель всегда положителен, то и $z$ всегда больше нуля.

Таким образом, область значений $z$ есть полуинтервал $(0, 2]$.

Теперь найдем множество значений $\{z\}$ для $z \in (0, 2]$. Разобьем этот полуинтервал на части:

1. Если $z \in (0, 1)$, то $[z]=0$, и $y=\{z\} = z - 0 = z$. В этом случае значения $y$ покрывают интервал $(0, 1)$.

2. Если $z = 1$, то $[z]=1$, и $y=\{z\} = 1 - 1 = 0$. (Это значение достигается, когда $x^2 + \frac{1}{2} = 1$).

3. Если $z \in (1, 2)$, то $[z]=1$, и $y=\{z\} = z - 1$. Когда $z$ пробегает значения от 1 до 2 (не включая), $z-1$ пробегает значения от 0 до 1 (не включая). Таким образом, значения $y$ снова покрывают интервал $(0, 1)$.

4. Если $z = 2$, то $[z]=2$, и $y=\{z\} = 2 - 2 = 0$. (Это значение достигается при $x=0$).

Объединяя все возможные значения для $y$, мы получаем значение $0$ и все значения из интервала $(0, 1)$.

Ответ: $E(y) = [0, 1)$.