Номер 58, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 58, страница 320.

№58 (с. 320)
Условие. №58 (с. 320)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 320, номер 58, Условие

58. Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, определенных на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической.

Решение 5. №58 (с. 320)

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две непрерывные периодические функции, определенные на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Пусть $T_f > 0$ и $T_g > 0$ — их основные (наименьшие положительные) периоды. Условие, что функции не имеют общих периодов, означает, что не существует такого числа $T \neq 0$, которое было бы периодом для обеих функций одновременно. Для непрерывных неконстантных функций это эквивалентно тому, что отношение их основных периодов $T_f / T_g$ является иррациональным числом. Если бы это отношение было рациональным, $T_f / T_g = m/k$ для целых $m, k$, то $k T_f = m T_g$ был бы общим периодом.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что сумма $S(x) = f(x) + g(x)$ является периодической функцией с некоторым периодом $T > 0$. Тогда для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство:

$S(x+T) = S(x)$

Распишем это равенство, используя определение функции $S(x)$:

$f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы разделить функции $f$ и $g$:

$f(x+T) - f(x) = g(x) - g(x+T)$

Обозначим левую часть этого равенства как новую функцию $h(x)$:

$h(x) = f(x+T) - f(x)$

Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны по условию, функция $h(x)$ также является непрерывной как разность непрерывных функций.

Теперь исследуем периодичность функции $h(x)$. Так как $f(x)$ имеет период $T_f$, то:

$h(x+T_f) = f((x+T_f)+T) - f(x+T_f) = f(x+T) - f(x) = h(x)$

Следовательно, $T_f$ является периодом для $h(x)$.

С другой стороны, из нашего равенства следует, что $h(x) = -(g(x+T) - g(x))$. Так как $g(x)$ имеет период $T_g$, то и функция $-(g(x+T) - g(x))$ имеет период $T_g$. Значит, $T_g$ также является периодом для $h(x)$:

$h(x+T_g) = -(g(x+T_g+T) - g(x+T_g)) = -(g(x+T) - g(x)) = h(x)$

Итак, мы установили, что непрерывная функция $h(x)$ имеет два периода, $T_f$ и $T_g$, отношение которых $T_f/T_g$ иррационально. Известно, что множество чисел вида $k T_f + m T_g$, где $k, m \in \mathbb{Z}$, плотно на числовой прямой $\mathbb{R}$. Поскольку все эти числа являются периодами функции $h(x)$, то $h(x)$ является непрерывной функцией с плотным множеством периодов. Такая функция может быть только постоянной. Следовательно, $h(x) = C$ для некоторой константы $C$.

Таким образом, мы имеем $f(x+T) - f(x) = C$. Применяя это равенство $n$ раз, мы можем выразить $f(x+nT)$:

$f(x+nT) = f(x+(n-1)T) + C = \dots = f(x) + nC$

Функция $f(x)$, будучи непрерывной и периодической на $\mathbb{R}$, является ограниченной. Это означает, что существует такое число $M > 0$, что $|f(y)| \le M$ для всех $y \in \mathbb{R}$. В частности, $|f(x+nT)| \le M$ для всех целых $n$.

Однако, если предположить, что $C \neq 0$, то выражение $|f(x) + nC|$ будет неограниченно возрастать при $n \to \infty$. Это противоречит ограниченности функции $f(x)$. Следовательно, единственно возможный случай — это $C = 0$.

Если $C = 0$, то $h(x) = 0$ для всех $x$. Это означает:

$f(x+T) - f(x) = 0 \implies f(x+T) = f(x)$
$g(x) - g(x+T) = 0 \implies g(x+T) = g(x)$

Из этих равенств следует, что число $T$ (которое мы предположили положительным) является общим периодом для функций $f(x)$ и $g(x)$. Но это напрямую противоречит исходному условию задачи, согласно которому у функций нет общих ненулевых периодов.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о периодичности суммы $S(x)$ было неверным.

Ответ: Утверждение доказано. Предположение о периодичности суммы приводит к противоречию с условием отсутствия общих периодов у исходных функций, следовательно, сумма не может быть периодической.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 58 расположенного на странице 320 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №58 (с. 320), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.