Номер 58, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 58, страница 320.
№58 (с. 320)
Условие. №58 (с. 320)
скриншот условия

58. Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, определенных на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической.
Решение 5. №58 (с. 320)
Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две непрерывные периодические функции, определенные на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Пусть $T_f > 0$ и $T_g > 0$ — их основные (наименьшие положительные) периоды. Условие, что функции не имеют общих периодов, означает, что не существует такого числа $T \neq 0$, которое было бы периодом для обеих функций одновременно. Для непрерывных неконстантных функций это эквивалентно тому, что отношение их основных периодов $T_f / T_g$ является иррациональным числом. Если бы это отношение было рациональным, $T_f / T_g = m/k$ для целых $m, k$, то $k T_f = m T_g$ был бы общим периодом.
Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что сумма $S(x) = f(x) + g(x)$ является периодической функцией с некоторым периодом $T > 0$. Тогда для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство:
$S(x+T) = S(x)$
Распишем это равенство, используя определение функции $S(x)$:
$f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$
Перегруппируем члены уравнения, чтобы разделить функции $f$ и $g$:
$f(x+T) - f(x) = g(x) - g(x+T)$
Обозначим левую часть этого равенства как новую функцию $h(x)$:
$h(x) = f(x+T) - f(x)$
Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны по условию, функция $h(x)$ также является непрерывной как разность непрерывных функций.
Теперь исследуем периодичность функции $h(x)$. Так как $f(x)$ имеет период $T_f$, то:
$h(x+T_f) = f((x+T_f)+T) - f(x+T_f) = f(x+T) - f(x) = h(x)$
Следовательно, $T_f$ является периодом для $h(x)$.
С другой стороны, из нашего равенства следует, что $h(x) = -(g(x+T) - g(x))$. Так как $g(x)$ имеет период $T_g$, то и функция $-(g(x+T) - g(x))$ имеет период $T_g$. Значит, $T_g$ также является периодом для $h(x)$:
$h(x+T_g) = -(g(x+T_g+T) - g(x+T_g)) = -(g(x+T) - g(x)) = h(x)$
Итак, мы установили, что непрерывная функция $h(x)$ имеет два периода, $T_f$ и $T_g$, отношение которых $T_f/T_g$ иррационально. Известно, что множество чисел вида $k T_f + m T_g$, где $k, m \in \mathbb{Z}$, плотно на числовой прямой $\mathbb{R}$. Поскольку все эти числа являются периодами функции $h(x)$, то $h(x)$ является непрерывной функцией с плотным множеством периодов. Такая функция может быть только постоянной. Следовательно, $h(x) = C$ для некоторой константы $C$.
Таким образом, мы имеем $f(x+T) - f(x) = C$. Применяя это равенство $n$ раз, мы можем выразить $f(x+nT)$:
$f(x+nT) = f(x+(n-1)T) + C = \dots = f(x) + nC$
Функция $f(x)$, будучи непрерывной и периодической на $\mathbb{R}$, является ограниченной. Это означает, что существует такое число $M > 0$, что $|f(y)| \le M$ для всех $y \in \mathbb{R}$. В частности, $|f(x+nT)| \le M$ для всех целых $n$.
Однако, если предположить, что $C \neq 0$, то выражение $|f(x) + nC|$ будет неограниченно возрастать при $n \to \infty$. Это противоречит ограниченности функции $f(x)$. Следовательно, единственно возможный случай — это $C = 0$.
Если $C = 0$, то $h(x) = 0$ для всех $x$. Это означает:
$f(x+T) - f(x) = 0 \implies f(x+T) = f(x)$
$g(x) - g(x+T) = 0 \implies g(x+T) = g(x)$
Из этих равенств следует, что число $T$ (которое мы предположили положительным) является общим периодом для функций $f(x)$ и $g(x)$. Но это напрямую противоречит исходному условию задачи, согласно которому у функций нет общих ненулевых периодов.
Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о периодичности суммы $S(x)$ было неверным.
Ответ: Утверждение доказано. Предположение о периодичности суммы приводит к противоречию с условием отсутствия общих периодов у исходных функций, следовательно, сумма не может быть периодической.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 58 расположенного на странице 320 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №58 (с. 320), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.