Номер 58, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 58, страница 320.

Условие.

58. Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, определенных на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической.

Решение 5.

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две непрерывные периодические функции, определенные на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Пусть $T_f > 0$ и $T_g > 0$ — их основные (наименьшие положительные) периоды. Условие, что функции не имеют общих периодов, означает, что не существует такого числа $T \neq 0$, которое было бы периодом для обеих функций одновременно. Для непрерывных неконстантных функций это эквивалентно тому, что отношение их основных периодов $T_f / T_g$ является иррациональным числом. Если бы это отношение было рациональным, $T_f / T_g = m/k$ для целых $m, k$, то $k T_f = m T_g$ был бы общим периодом.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что сумма $S(x) = f(x) + g(x)$ является периодической функцией с некоторым периодом $T > 0$. Тогда для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство:

$S(x+T) = S(x)$

Распишем это равенство, используя определение функции $S(x)$:

$f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы разделить функции $f$ и $g$:

$f(x+T) - f(x) = g(x) - g(x+T)$

Обозначим левую часть этого равенства как новую функцию $h(x)$:

$h(x) = f(x+T) - f(x)$

Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны по условию, функция $h(x)$ также является непрерывной как разность непрерывных функций.

Теперь исследуем периодичность функции $h(x)$. Так как $f(x)$ имеет период $T_f$, то:

$h(x+T_f) = f((x+T_f)+T) - f(x+T_f) = f(x+T) - f(x) = h(x)$

Следовательно, $T_f$ является периодом для $h(x)$.

С другой стороны, из нашего равенства следует, что $h(x) = -(g(x+T) - g(x))$. Так как $g(x)$ имеет период $T_g$, то и функция $-(g(x+T) - g(x))$ имеет период $T_g$. Значит, $T_g$ также является периодом для $h(x)$:

$h(x+T_g) = -(g(x+T_g+T) - g(x+T_g)) = -(g(x+T) - g(x)) = h(x)$

Итак, мы установили, что непрерывная функция $h(x)$ имеет два периода, $T_f$ и $T_g$, отношение которых $T_f/T_g$ иррационально. Известно, что множество чисел вида $k T_f + m T_g$, где $k, m \in \mathbb{Z}$, плотно на числовой прямой $\mathbb{R}$. Поскольку все эти числа являются периодами функции $h(x)$, то $h(x)$ является непрерывной функцией с плотным множеством периодов. Такая функция может быть только постоянной. Следовательно, $h(x) = C$ для некоторой константы $C$.

Таким образом, мы имеем $f(x+T) - f(x) = C$. Применяя это равенство $n$ раз, мы можем выразить $f(x+nT)$:

$f(x+nT) = f(x+(n-1)T) + C = \dots = f(x) + nC$

Функция $f(x)$, будучи непрерывной и периодической на $\mathbb{R}$, является ограниченной. Это означает, что существует такое число $M > 0$, что $|f(y)| \le M$ для всех $y \in \mathbb{R}$. В частности, $|f(x+nT)| \le M$ для всех целых $n$.

Однако, если предположить, что $C \neq 0$, то выражение $|f(x) + nC|$ будет неограниченно возрастать при $n \to \infty$. Это противоречит ограниченности функции $f(x)$. Следовательно, единственно возможный случай — это $C = 0$.

Если $C = 0$, то $h(x) = 0$ для всех $x$. Это означает:

$f(x+T) - f(x) = 0 \implies f(x+T) = f(x)$
$g(x) - g(x+T) = 0 \implies g(x+T) = g(x)$

Из этих равенств следует, что число $T$ (которое мы предположили положительным) является общим периодом для функций $f(x)$ и $g(x)$. Но это напрямую противоречит исходному условию задачи, согласно которому у функций нет общих ненулевых периодов.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о периодичности суммы $S(x)$ было неверным.

Ответ: Утверждение доказано. Предположение о периодичности суммы приводит к противоречию с условием отсутствия общих периодов у исходных функций, следовательно, сумма не может быть периодической.