Номер 51, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 51, страница 319.

Условие.

51. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{\sqrt{|x|-x}}{\operatorname{tg} 2x};$

б) $y = \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{\cos x};$

в) $y = \frac{\arcsin 0,5x}{\sqrt{x^2-1}};$

г) $y = \sqrt{\cos (\sin x)};$

д) $y = \log_{2 \sin x} \cos x;$

е) $y = \frac{1}{\lg (1 - \sqrt{x^2 - 1})}.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \frac{\sqrt{|x|-x}}{\text{tg}\,2x}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $|x|-x \ge 0$.
Это неравенство равносильно $|x| \ge x$. Оно выполняется для всех действительных чисел $x$, так как:

• если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и неравенство принимает вид $x \ge x$, что верно.
• если $x < 0$, то $|x|=-x$, и неравенство принимает вид $-x \ge x$, что равносильно $0 \ge 2x$, или $x \le 0$, что также верно для данного случая.

Следовательно, это условие выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\text{tg}\,2x \ne 0$.
Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$ для любого целого $n$. Значит, $2x \ne \pi n \implies x \ne \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3. Функция тангенса должна быть определена.
$\text{tg}\,2x$ определен, если $\cos 2x \ne 0$. Это означает, что аргумент $2x$ не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. Значит, $2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя ограничения на знаменатель, получаем, что $x$ не может принимать значения вида $\frac{\pi n}{2}$ и $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Вместе эти точки образуют множество $x = \frac{\pi m}{4}$ для всех целых $m$.

Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}\}$.

б) $y = \frac{\sqrt{8-2x-x^2}}{\cos x}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $8-2x-x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак: $x^2+2x-8 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2+2x-8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y=x^2+2x-8$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-4 \le x \le 2$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\cos x \ne 0$.
Косинус равен нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Нужно найти, какие из этих точек попадают в отрезок $[-4, 2]$.
При $k=0: x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Это значение входит в отрезок $[-4, 2]$.
При $k=-1: x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Это значение также входит в отрезок $[-4, 2]$.
При других целых $k$ значения $x$ выходят за пределы отрезка $[-4, 2]$.
Следовательно, из отрезка $[-4, 2]$ нужно исключить точки $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $D(y) = [-4, -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2]$.

в) $y = \frac{\arcsin(0.5x)}{\sqrt{x^2-1}}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Аргумент арксинуса должен находиться в пределах от $-1$ до $1$: $-1 \le 0.5x \le 1$.
Умножив на 2, получим: $-2 \le x \le 2$, то есть $x \in [-2, 2]$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку корень в знаменателе): $x^2-1 > 0$.
$x^2 > 1 \implies |x| > 1$, что равносильно $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Для нахождения области определения нужно найти пересечение множеств, полученных из двух условий: $x \in [-2, 2] \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.
Пересечение $[-2, 2]$ с $(-\infty, -1)$ дает $[-2, -1)$.
Пересечение $[-2, 2]$ с $(1, \infty)$ дает $(1, 2]$.
Объединяя эти интервалы, получаем итоговый результат.

Ответ: $D(y) = [-2, -1) \cup (1, 2]$.

г) $y = \sqrt{\cos(\sin x)}$

Область определения функции находится из условия, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\cos(\sin x) \ge 0$.

Пусть $u = \sin x$. Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $u \in [-1, 1]$.
Неравенство принимает вид $\cos u \ge 0$ при $u \in [-1, 1]$.
Функция косинуса неотрицательна на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим промежуток при $k=0$: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В числах это примерно $[-1.57, 1.57]$.
Так как область значений $u = \sin x$, то есть отрезок $[-1, 1]$, полностью содержится в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором косинус неотрицателен, то условие $\cos(\sin x) \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

д) $y = \log_{2 \sin x}(\cos x)$

Область определения логарифмической функции $\log_b a$ задается системой условий:

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $a > 0 \implies \cos x > 0$.
2. Основание логарифма должно быть положительно: $b > 0 \implies 2 \sin x > 0 \implies \sin x > 0$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $b \ne 1 \implies 2 \sin x \ne 1 \implies \sin x \ne \frac{1}{2}$.

Условия $\cos x > 0$ и $\sin x > 0$ выполняются одновременно только в первой координатной четверти. Это соответствует интервалам $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем третье условие: $\sin x \ne \frac{1}{2}$.
В первой четверти уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет решение $x = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, из найденных интервалов нужно исключить точки $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения состоит из интервалов первой четверти, из которых выколота точка, где синус равен $1/2$.

Ответ: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \right)$.

е) $y = \frac{1}{\lg(1-\sqrt{x^2-1})}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2-1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies |x| \ge 1$.

2. Аргумент десятичного логарифма $(\lg)$ должен быть строго положительным: $1 - \sqrt{x^2-1} > 0 \implies 1 > \sqrt{x^2-1}$.
Так как обе части неравенства неотрицательны (левая равна 1, правая - корень), можно возвести в квадрат: $1^2 > x^2-1 \implies 2 > x^2 \implies |x| < \sqrt{2}$.

3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg(1 - \sqrt{x^2-1}) \ne 0$.
Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1. $1 - \sqrt{x^2-1} \ne 1 \implies -\sqrt{x^2-1} \ne 0 \implies x^2-1 \ne 0 \implies |x| \ne 1$.

Объединим все условия: Из (1) и (2) получаем: $1 \le |x| < \sqrt{2}$.
Это соответствует объединению интервалов $(-\sqrt{2}, -1] \cup [1, \sqrt{2})$.
Из (3) мы должны исключить точки $x=1$ и $x=-1$.
Исключая эти точки из полученного множества, получаем открытые интервалы.

Ответ: $D(y) = (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$.