Номер 45, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 45, страница 319.

Условие.

45. При каком значении $a$ найдутся такие $x$, что числа $5^{1+x} + 5^{1-x}$, $\frac{a}{2}$, $25^x + 25^{-x}$ (в указанном порядке) составляют арифметическую прогрессию?

Решение 5.

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы средний член был равен среднему арифметическому крайних членов: $b_2 = \frac{b_1 + b_3}{2}$.

В данном случае имеем:

$b_1 = 5^{1+x} + 5^{1-x}$

$b_2 = \frac{a}{2}$

$b_3 = 25^x + 25^{-x}$

Подставим эти выражения в условие арифметической прогрессии:

$\frac{a}{2} = \frac{(5^{1+x} + 5^{1-x}) + (25^x + 25^{-x})}{2}$

Умножив обе части на 2, получим выражение для $a$:

$a = 5^{1+x} + 5^{1-x} + 25^x + 25^{-x}$

Преобразуем правую часть уравнения:

$5^{1+x} + 5^{1-x} = 5 \cdot 5^x + 5 \cdot 5^{-x} = 5(5^x + 5^{-x})$

$25^x + 25^{-x} = (5^2)^x + (5^2)^{-x} = (5^x)^2 + (5^{-x})^2$

Тогда уравнение для $a$ примет вид:

$a = 5(5^x + 5^{-x}) + (5^x)^2 + (5^{-x})^2$

Задача сводится к нахождению всех значений $a$, при которых это уравнение имеет хотя бы одно решение относительно $x$. Для этого найдем множество значений, которые может принимать правая часть уравнения.

Сделаем замену. Пусть $y = 5^x + 5^{-x}$.

Найдем область значений переменной $y$. Так как $5^x > 0$, мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши):

$y = 5^x + 5^{-x} \ge 2\sqrt{5^x \cdot 5^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$

Равенство достигается при $5^x = 5^{-x}$, то есть при $x=0$. Таким образом, множество значений $y$ — это промежуток $[2, +\infty)$.

Теперь выразим второе слагаемое в уравнении для $a$ через $y$:

$y^2 = (5^x + 5^{-x})^2 = (5^x)^2 + 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} + (5^{-x})^2 = (5^x)^2 + 2 + (5^{-x})^2$

Отсюда $(5^x)^2 + (5^{-x})^2 = y^2 - 2$.

Подставим выражения через $y$ в уравнение для $a$:

$a = 5y + (y^2 - 2) = y^2 + 5y - 2$

Теперь нам нужно найти множество значений функции $f(y) = y^2 + 5y - 2$ при условии, что $y \in [2, +\infty)$.

Функция $f(y)$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата вершины параболы по оси абсцисс:

$y_v = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$

Поскольку вершина параболы находится в точке $y = -2.5$, а мы рассматриваем функцию на промежутке $[2, +\infty)$, то на этом промежутке функция $f(y)$ является строго возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение функции на данном промежутке достигается в его начальной точке, то есть при $y=2$:

$a_{min} = f(2) = 2^2 + 5 \cdot 2 - 2 = 4 + 10 - 2 = 12$

Так как функция $f(y)$ возрастает и не ограничена сверху на промежутке $[2, +\infty)$, она принимает все значения от своего минимального значения $12$ и выше.

Таким образом, для того чтобы существовал такой $x$, что данные числа образуют арифметическую прогрессию, параметр $a$ должен принадлежать множеству значений функции $f(y)$, то есть $a \ge 12$.

Ответ: $a \ge 12$.