Номер 45, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 45, страница 319.
№45 (с. 319)
Условие. №45 (с. 319)
скриншот условия

45. При каком значении $a$ найдутся такие $x$, что числа $5^{1+x} + 5^{1-x}$, $\frac{a}{2}$, $25^x + 25^{-x}$ (в указанном порядке) составляют арифметическую прогрессию?
Решение 5. №45 (с. 319)
Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы средний член был равен среднему арифметическому крайних членов: $b_2 = \frac{b_1 + b_3}{2}$.
В данном случае имеем:
$b_1 = 5^{1+x} + 5^{1-x}$
$b_2 = \frac{a}{2}$
$b_3 = 25^x + 25^{-x}$
Подставим эти выражения в условие арифметической прогрессии:
$\frac{a}{2} = \frac{(5^{1+x} + 5^{1-x}) + (25^x + 25^{-x})}{2}$
Умножив обе части на 2, получим выражение для $a$:
$a = 5^{1+x} + 5^{1-x} + 25^x + 25^{-x}$
Преобразуем правую часть уравнения:
$5^{1+x} + 5^{1-x} = 5 \cdot 5^x + 5 \cdot 5^{-x} = 5(5^x + 5^{-x})$
$25^x + 25^{-x} = (5^2)^x + (5^2)^{-x} = (5^x)^2 + (5^{-x})^2$
Тогда уравнение для $a$ примет вид:
$a = 5(5^x + 5^{-x}) + (5^x)^2 + (5^{-x})^2$
Задача сводится к нахождению всех значений $a$, при которых это уравнение имеет хотя бы одно решение относительно $x$. Для этого найдем множество значений, которые может принимать правая часть уравнения.
Сделаем замену. Пусть $y = 5^x + 5^{-x}$.
Найдем область значений переменной $y$. Так как $5^x > 0$, мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши):
$y = 5^x + 5^{-x} \ge 2\sqrt{5^x \cdot 5^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$
Равенство достигается при $5^x = 5^{-x}$, то есть при $x=0$. Таким образом, множество значений $y$ — это промежуток $[2, +\infty)$.
Теперь выразим второе слагаемое в уравнении для $a$ через $y$:
$y^2 = (5^x + 5^{-x})^2 = (5^x)^2 + 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} + (5^{-x})^2 = (5^x)^2 + 2 + (5^{-x})^2$
Отсюда $(5^x)^2 + (5^{-x})^2 = y^2 - 2$.
Подставим выражения через $y$ в уравнение для $a$:
$a = 5y + (y^2 - 2) = y^2 + 5y - 2$
Теперь нам нужно найти множество значений функции $f(y) = y^2 + 5y - 2$ при условии, что $y \in [2, +\infty)$.
Функция $f(y)$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата вершины параболы по оси абсцисс:
$y_v = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$
Поскольку вершина параболы находится в точке $y = -2.5$, а мы рассматриваем функцию на промежутке $[2, +\infty)$, то на этом промежутке функция $f(y)$ является строго возрастающей.
Следовательно, наименьшее значение функции на данном промежутке достигается в его начальной точке, то есть при $y=2$:
$a_{min} = f(2) = 2^2 + 5 \cdot 2 - 2 = 4 + 10 - 2 = 12$
Так как функция $f(y)$ возрастает и не ограничена сверху на промежутке $[2, +\infty)$, она принимает все значения от своего минимального значения $12$ и выше.
Таким образом, для того чтобы существовал такой $x$, что данные числа образуют арифметическую прогрессию, параметр $a$ должен принадлежать множеству значений функции $f(y)$, то есть $a \ge 12$.
Ответ: $a \ge 12$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 45 расположенного на странице 319 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №45 (с. 319), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.