Номер 42, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 42, страница 318.
№42 (с. 318)
Условие. №42 (с. 318)
скриншот условия

42. Докажите справедливость равенства
$1 - \text{tg } \varphi + \text{tg}^2 \varphi - \text{tg}^3 \varphi + \dots = \frac{\sqrt{2} \cos \varphi}{2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \varphi\right)}$
для любого $\varphi \in \left(0; \frac{\pi}{4}\right)$.
Решение 3. №42 (с. 318)


Решение 5. №42 (с. 318)
Для доказательства данного равенства необходимо показать, что его левая и правая части тождественно равны. Рассмотрим каждую часть по отдельности.
Преобразование левой части
Левая часть равенства $1 - \tan \phi + \tan^2 \phi - \tan^3 \phi + \ldots$ является бесконечной знакочередующейся геометрической прогрессией.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = -\tan \phi$.
Для того чтобы сумма членов прогрессии существовала (прогрессия сходилась), необходимо, чтобы модуль ее знаменателя был меньше единицы, то есть $|q| < 1$.
По условию задачи, угол $\phi$ принадлежит интервалу $\phi \in (0; \frac{\pi}{4})$. Для всех углов из этого интервала тангенс положителен и принимает значения от 0 до 1, то есть $0 < \tan \phi < 1$.
Следовательно, $|q| = |-\tan \phi| = \tan \phi < 1$. Условие сходимости выполняется.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив наши значения, получаем:
$S = \frac{1}{1 - (-\tan \phi)} = \frac{1}{1 + \tan \phi}$.
Преобразование правой части
Правая часть равенства имеет вид: $\frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \sin(\frac{\pi}{4} + \phi)}$.
Воспользуемся формулой синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
Применим ее к знаменателю:
$\sin(\frac{\pi}{4} + \phi) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\phi + \cos\frac{\pi}{4} \sin\phi$.
Зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем эти значения:
$\sin(\frac{\pi}{4} + \phi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\phi + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\phi + \sin\phi)$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в правую часть исходного равенства:
$\frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \sin(\frac{\pi}{4} + \phi)} = \frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\phi + \sin\phi)} = \frac{\sqrt{2} \cos \phi}{\sqrt{2}(\cos\phi + \sin\phi)} = \frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$.
Сравнение результатов
Мы получили, что левая часть равна $\frac{1}{1 + \tan \phi}$, а правая часть равна $\frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$.
Теперь покажем, что эти два выражения равны. Преобразуем выражение для левой части, используя определение тангенса $\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi}$:
$\frac{1}{1 + \tan \phi} = \frac{1}{1 + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{1}{\frac{\cos \phi + \sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{\cos \phi}{\cos \phi + \sin \phi}$.
Таким образом, преобразованная левая часть полностью совпадает с преобразованной правой частью. Следовательно, исходное равенство справедливо для всех $\phi \in (0; \frac{\pi}{4})$.
Ответ: Равенство доказано. Левая часть представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна $\frac{1}{1 + \tan \phi}$. Правая часть после применения формулы синуса суммы и упрощения также приводится к виду $\frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$. Поскольку $\frac{1}{1 + \tan \phi} = \frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$, тождество является верным.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 42 расположенного на странице 318 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №42 (с. 318), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.