Номер 42, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 42, страница 318.

Условие.

42. Докажите справедливость равенства

$1 - \text{tg } \varphi + \text{tg}^2 \varphi - \text{tg}^3 \varphi + \dots = \frac{\sqrt{2} \cos \varphi}{2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \varphi\right)}$

для любого $\varphi \in \left(0; \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства данного равенства необходимо показать, что его левая и правая части тождественно равны. Рассмотрим каждую часть по отдельности.

Преобразование левой части

Левая часть равенства $1 - \tan \phi + \tan^2 \phi - \tan^3 \phi + \ldots$ является бесконечной знакочередующейся геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = -\tan \phi$.

Для того чтобы сумма членов прогрессии существовала (прогрессия сходилась), необходимо, чтобы модуль ее знаменателя был меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

По условию задачи, угол $\phi$ принадлежит интервалу $\phi \in (0; \frac{\pi}{4})$. Для всех углов из этого интервала тангенс положителен и принимает значения от 0 до 1, то есть $0 < \tan \phi < 1$.

Следовательно, $|q| = |-\tan \phi| = \tan \phi < 1$. Условие сходимости выполняется.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив наши значения, получаем:

$S = \frac{1}{1 - (-\tan \phi)} = \frac{1}{1 + \tan \phi}$.

Преобразование правой части

Правая часть равенства имеет вид: $\frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \sin(\frac{\pi}{4} + \phi)}$.

Воспользуемся формулой синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

Применим ее к знаменателю:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \phi) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\phi + \cos\frac{\pi}{4} \sin\phi$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем эти значения:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \phi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\phi + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\phi + \sin\phi)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в правую часть исходного равенства:

$\frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \sin(\frac{\pi}{4} + \phi)} = \frac{\sqrt{2} \cos \phi}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\phi + \sin\phi)} = \frac{\sqrt{2} \cos \phi}{\sqrt{2}(\cos\phi + \sin\phi)} = \frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$.

Сравнение результатов

Мы получили, что левая часть равна $\frac{1}{1 + \tan \phi}$, а правая часть равна $\frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$.

Теперь покажем, что эти два выражения равны. Преобразуем выражение для левой части, используя определение тангенса $\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi}$:

$\frac{1}{1 + \tan \phi} = \frac{1}{1 + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{1}{\frac{\cos \phi + \sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{\cos \phi}{\cos \phi + \sin \phi}$.

Таким образом, преобразованная левая часть полностью совпадает с преобразованной правой частью. Следовательно, исходное равенство справедливо для всех $\phi \in (0; \frac{\pi}{4})$.

Ответ: Равенство доказано. Левая часть представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна $\frac{1}{1 + \tan \phi}$. Правая часть после применения формулы синуса суммы и упрощения также приводится к виду $\frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$. Поскольку $\frac{1}{1 + \tan \phi} = \frac{\cos\phi}{\cos\phi + \sin\phi}$, тождество является верным.