Номер 36, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 36, страница 318.

Условие.

36. Проверьте, что число $x_0$ является корнем уравнения $\text{arctg } x = \frac{\pi}{12}$, $x_0 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.

Решение 5.

Для того чтобы проверить, является ли число $x_0 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ корнем уравнения $\text{arctg } x = \frac{\pi}{12}$, необходимо подставить значение $x_0$ в левую часть уравнения и убедиться, что в результате получится правая часть.

Итак, нам нужно проверить истинность равенства: $$ \text{arctg} \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \right) = \frac{\pi}{12} $$

По определению арктангенса, равенство $\text{arctg}(a) = b$ (для $b$ из области значений арктангенса, то есть $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$) равносильно равенству $\text{tg}(b) = a$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{12}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, мы можем проверить эквивалентное утверждение: $$ \text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} $$

Вычислим значение $\text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right)$. Для этого представим угол $\frac{\pi}{12}$ в виде разности двух известных углов, например $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$: $$ \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} $$

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой тангенса разности: $$ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} $$

Подставим в формулу $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Нам известны значения тангенсов для этих углов: $$ \text{tg} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} $$ $$ \text{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 $$

Выполним вычисление: $$ \text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right) = \text{tg} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 + \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} $$

Мы получили, что значение $\text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right)$ в точности совпадает со значением $x_0$. Следовательно, равенство $\text{tg} \left( \frac{\pi}{12} \right) = x_0$ верно.

Это доказывает, что исходное равенство $\text{arctg}(x_0) = \frac{\pi}{12}$ также верно, а значит, число $x_0$ является корнем данного уравнения.

Ответ: Проверка подтверждает, что число $x_0 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ является корнем уравнения $\text{arctg } x = \frac{\pi}{12}$.