Номер 29, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 29, страница 317.
№29 (с. 317)
Условие. №29 (с. 317)
скриншот условия

29. Разложите на множители:
а) $x^4 + 4$;
б) $x^4 + x^2 + 1$;
в) $x^5 + x + 1$;
г) $(x^2 + y^2)^3 + (z^2 - x^2)^3 - (y^2 + z^2)^3$;
д) $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$;
е) $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz.$
Решение 3. №29 (с. 317)

Решение 5. №29 (с. 317)
а) $x^4 + 4$
Для разложения этого выражения на множители используем метод выделения полного квадрата. Этот приём известен как тождество Софи Жермен. Добавим и вычтем слагаемое $4x^2$:
$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$
Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(x^2+2)^2$:
$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$
Теперь мы имеем разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2 + 2$ и $b = 2x$. Применим эту формулу:
$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$
Упорядочим слагаемые в скобках для стандартного вида многочлена:
$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$
Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$
б) $x^4 + x^2 + 1$
Этот многочлен также можно разложить, дополнив до полного квадрата. Представим $x^2$ как $2x^2 - x^2$:
$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(x^2+1)^2$:
$(x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$
Получили разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2 + 1$ и $b = x$. Применим формулу:
$((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$
Упорядочим слагаемые в скобках:
$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$
Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$
в) $x^5 + x + 1$
Для разложения этого многочлена добавим и вычтем $x^2$:
$x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$
Вынесем $x^2$ из первой группы:
$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для выражения $x^3 - 1$:
$x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1)$
Теперь мы видим общий множитель $(x^2 + x + 1)$, который можно вынести за скобки:
$(x^2 + x + 1)(x^2(x - 1) + 1)$
Раскроем скобки во втором множителе:
$(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$
Ответ: $(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$
г) $(x^2 + y^2)^3 + (z^2 - x^2)^3 - (y^2 + z^2)^3$
Воспользуемся заменой переменных. Пусть:
$A = x^2 + y^2$
$B = z^2 - x^2$
Тогда их сумма $A+B = (x^2 + y^2) + (z^2 - x^2) = y^2 + z^2$.
Исходное выражение можно переписать в виде $A^3 + B^3 - (A+B)^3$.
Используем тождество $A^3 + B^3 - (A+B)^3 = -3AB(A+B)$. Раскроем куб суммы для проверки:
$A^3 + B^3 - (A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3) = A^3 + B^3 - A^3 - 3A^2B - 3AB^2 - B^3 = -3A^2B - 3AB^2 = -3AB(A+B)$
Теперь подставим обратно исходные выражения для $A$, $B$ и $A+B$:
$-3(x^2 + y^2)(z^2 - x^2)(y^2 + z^2)$
Выражение $(z^2 - x^2)$ можно разложить по формуле разности квадратов. Для более эстетичного вида вынесем знак минус:
$-3(x^2 + y^2)(-(x^2 - z^2))(y^2 + z^2) = 3(x^2 - z^2)(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)$
Применяя формулу разности квадратов к $(x^2-z^2)$, получаем окончательное разложение:
$3(x - z)(x + z)(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)$
Ответ: $3(x - z)(x + z)(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)$
д) $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$
Это выражение является известным тождеством. Рассмотрим его как многочлен от переменной $x$. Обозначим его $P(x, y, z)$.
Если подставить $x = -y$, то выражение обратится в ноль:
$P(-y, y, z) = (-y + y + z)^3 - (-y)^3 - y^3 - z^3 = z^3 + y^3 - y^3 - z^3 = 0$
Это означает, что $(x - (-y)) = (x+y)$ является множителем. В силу симметрии выражения относительно $x, y, z$, множителями также будут $(y+z)$ и $(z+x)$.
Таким образом, выражение должно иметь вид $k(x+y)(y+z)(z+x)$, где $k$ — некоторый числовой коэффициент.
Исходный многочлен и произведение $(x+y)(y+z)(z+x)$ являются однородными многочленами третьей степени, поэтому $k$ является константой.
Чтобы найти $k$, подставим произвольные ненулевые значения, например, $x=1, y=1, z=1$:
$(1+1+1)^3 - 1^3 - 1^3 - 1^3 = 3^3 - 3 = 27 - 3 = 24$.
Теперь подставим эти же значения в разложение:
$k(1+1)(1+1)(1+1) = k \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8k$.
Приравнивая результаты, получаем $8k = 24$, откуда $k=3$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$3(x+y)(y+z)(z+x)$
Ответ: $3(x+y)(y+z)(z+x)$
е) $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$
Это выражение является известным тождеством — формулой для разложения суммы кубов трех переменных, скорректированной на их утроенное произведение.
Формула разложения выглядит следующим образом:
$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
Это и есть искомое разложение на множители. Второй множитель, $(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$, является неразложимым на множители с действительными коэффициентами (если только $x,y,z$ не равны между собой).
Ответ: $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 29 расположенного на странице 317 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №29 (с. 317), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.