Номер 29, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 29, страница 317.

Условие.

29. Разложите на множители:

а) $x^4 + 4$;

б) $x^4 + x^2 + 1$;

в) $x^5 + x + 1$;

г) $(x^2 + y^2)^3 + (z^2 - x^2)^3 - (y^2 + z^2)^3$;

д) $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$;

е) $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^4 + 4$

Для разложения этого выражения на множители используем метод выделения полного квадрата. Этот приём известен как тождество Софи Жермен. Добавим и вычтем слагаемое $4x^2$:

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(x^2+2)^2$:

$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

Теперь мы имеем разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2 + 2$ и $b = 2x$. Применим эту формулу:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$

Упорядочим слагаемые в скобках для стандартного вида многочлена:

$(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

б) $x^4 + x^2 + 1$

Этот многочлен также можно разложить, дополнив до полного квадрата. Представим $x^2$ как $2x^2 - x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(x^2+1)^2$:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

Получили разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2 + 1$ и $b = x$. Применим формулу:

$((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$

Упорядочим слагаемые в скобках:

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

в) $x^5 + x + 1$

Для разложения этого многочлена добавим и вычтем $x^2$:

$x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$

Вынесем $x^2$ из первой группы:

$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для выражения $x^3 - 1$:

$x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 + x + 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 + x + 1)(x^2(x - 1) + 1)$

Раскроем скобки во втором множителе:

$(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

Ответ: $(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

г) $(x^2 + y^2)^3 + (z^2 - x^2)^3 - (y^2 + z^2)^3$

Воспользуемся заменой переменных. Пусть:

$A = x^2 + y^2$

$B = z^2 - x^2$

Тогда их сумма $A+B = (x^2 + y^2) + (z^2 - x^2) = y^2 + z^2$.

Исходное выражение можно переписать в виде $A^3 + B^3 - (A+B)^3$.

Используем тождество $A^3 + B^3 - (A+B)^3 = -3AB(A+B)$. Раскроем куб суммы для проверки:

$A^3 + B^3 - (A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3) = A^3 + B^3 - A^3 - 3A^2B - 3AB^2 - B^3 = -3A^2B - 3AB^2 = -3AB(A+B)$

Теперь подставим обратно исходные выражения для $A$, $B$ и $A+B$:

$-3(x^2 + y^2)(z^2 - x^2)(y^2 + z^2)$

Выражение $(z^2 - x^2)$ можно разложить по формуле разности квадратов. Для более эстетичного вида вынесем знак минус:

$-3(x^2 + y^2)(-(x^2 - z^2))(y^2 + z^2) = 3(x^2 - z^2)(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)$

Применяя формулу разности квадратов к $(x^2-z^2)$, получаем окончательное разложение:

$3(x - z)(x + z)(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)$

Ответ: $3(x - z)(x + z)(x^2 + y^2)(y^2 + z^2)$

д) $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$

Это выражение является известным тождеством. Рассмотрим его как многочлен от переменной $x$. Обозначим его $P(x, y, z)$.

Если подставить $x = -y$, то выражение обратится в ноль:

$P(-y, y, z) = (-y + y + z)^3 - (-y)^3 - y^3 - z^3 = z^3 + y^3 - y^3 - z^3 = 0$

Это означает, что $(x - (-y)) = (x+y)$ является множителем. В силу симметрии выражения относительно $x, y, z$, множителями также будут $(y+z)$ и $(z+x)$.

Таким образом, выражение должно иметь вид $k(x+y)(y+z)(z+x)$, где $k$ — некоторый числовой коэффициент.

Исходный многочлен и произведение $(x+y)(y+z)(z+x)$ являются однородными многочленами третьей степени, поэтому $k$ является константой.

Чтобы найти $k$, подставим произвольные ненулевые значения, например, $x=1, y=1, z=1$:

$(1+1+1)^3 - 1^3 - 1^3 - 1^3 = 3^3 - 3 = 27 - 3 = 24$.

Теперь подставим эти же значения в разложение:

$k(1+1)(1+1)(1+1) = k \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8k$.

Приравнивая результаты, получаем $8k = 24$, откуда $k=3$.

Следовательно, разложение имеет вид:

$3(x+y)(y+z)(z+x)$

Ответ: $3(x+y)(y+z)(z+x)$

е) $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$

Это выражение является известным тождеством — формулой для разложения суммы кубов трех переменных, скорректированной на их утроенное произведение.

Формула разложения выглядит следующим образом:

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

Это и есть искомое разложение на множители. Второй множитель, $(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$, является неразложимым на множители с действительными коэффициентами (если только $x,y,z$ не равны между собой).

Ответ: $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$