Номер 25, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 25, страница 317.

Условие.

25. Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

a) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}};

б) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}};

в) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}.$

Решение 5.

а)

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}} $, мы будем последовательно избавляться от корней разной степени. Сначала избавимся от квадратного корня, а затем от кубического.

1. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к знаменателю, если бы оба слагаемых были квадратными корнями. То есть, умножим на $ \sqrt{2} - \sqrt[3]{3} $. Используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt[3]{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3})(\sqrt{2} - \sqrt[3]{3})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt[3]{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt[3]{3})^2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt[3]{3}}{2 - \sqrt[3]{9}} $

2. Теперь в знаменателе находится разность $ 2 - \sqrt[3]{9} $. Чтобы избавиться от кубического корня, воспользуемся формулой разности кубов: $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $. В нашем случае $ x=2 $ и $ y=\sqrt[3]{9} $. Нам нужно домножить знаменатель на $ x^2+xy+y^2 $, чтобы получить $ x^3-y^3 $.

Множитель равен: $ 2^2 + 2\sqrt[3]{9} + (\sqrt[3]{9})^2 = 4 + 2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{81} = 4 + 2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 4 + 2\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3} $.

3. Умножим числитель и знаменатель нашей дроби на это выражение:

$ \frac{\sqrt{2} - \sqrt[3]{3}}{2 - \sqrt[3]{9}} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt[3]{3})(4 + 2\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3})}{(2 - \sqrt[3]{9})(4 + 2\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3})} $

Знаменатель станет равен $ 2^3 - (\sqrt[3]{9})^3 = 8 - 9 = -1 $.

4. Раскроем скобки в числителе:

$ (\sqrt{2} - \sqrt[3]{3})(4 + 2\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3}) = \sqrt{2}(4 + 2\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3}) - \sqrt[3]{3}(4 + 2\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{3}) $

$ = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\sqrt[3]{9} + 3\sqrt{2}\sqrt[3]{3} - 4\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{9} - 3\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{3} $

$ = 4\sqrt{2} + 2\sqrt[6]{2^3 \cdot 9^2} + 3\sqrt[6]{2^3 \cdot 3^2} - 4\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{27} - 3\sqrt[3]{9} $

$ = 4\sqrt{2} + 2\sqrt[6]{8 \cdot 81} + 3\sqrt[6]{8 \cdot 9} - 4\sqrt[3]{3} - 2(3) - 3\sqrt[3]{9} $

$ = 4\sqrt{2} + 2\sqrt[6]{648} + 3\sqrt[6]{72} - 4\sqrt[3]{3} - 6 - 3\sqrt[3]{9} $

5. Разделим полученный числитель на знаменатель (-1):

$ \frac{4\sqrt{2} + 2\sqrt[6]{648} + 3\sqrt[6]{72} - 4\sqrt[3]{3} - 6 - 3\sqrt[3]{9}}{-1} = -4\sqrt{2} - 2\sqrt[6]{648} - 3\sqrt[6]{72} + 4\sqrt[3]{3} + 6 + 3\sqrt[3]{9} $

Отсортируем слагаемые для удобства:

$ 6 + 3\sqrt[3]{9} + 4\sqrt[3]{3} - 4\sqrt{2} - 3\sqrt[6]{72} - 2\sqrt[6]{648} $

Ответ: $ 6 + 3\sqrt[3]{9} + 4\sqrt[3]{3} - 4\sqrt{2} - 3\sqrt[6]{72} - 2\sqrt[6]{648} $.

б)

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} $, сгруппируем слагаемые и дважды применим формулу разности квадратов.

1. Сгруппируем первые два слагаемых в знаменателе: $ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5} $.

$ \frac{1}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5})}{((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5})((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} $

2. Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 5 = ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 5 = (2 + 2\sqrt{6} + 3) - 5 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6} $

3. Дробь приняла вид $ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} $. Осталось избавиться от $ \sqrt{6} $ в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $.

$ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{6} - \sqrt{5}\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{12} $

4. Упростим корни в числителе:

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $

$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $

Подставим упрощенные значения обратно в дробь:

$ \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30}}{12} $.

в)

Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{7}} $ мы воспользуемся тождеством $ x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $.

1. Обозначим $ x=\sqrt[3]{2}, y=\sqrt[3]{5}, z=\sqrt[3]{7} $. Знаменатель имеет вид $ x+y+z $. Домножим числитель и знаменатель на $ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx $.

Вычислим этот множитель:

$ (\sqrt[3]{2})^2+(\sqrt[3]{5})^2+(\sqrt[3]{7})^2 - \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{7}\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{10} - \sqrt[3]{35} - \sqrt[3]{14} $.

2. Новый знаменатель будет равен $ x^3+y^3+z^3-3xyz $:

$ (\sqrt[3]{2})^3+(\sqrt[3]{5})^3+(\sqrt[3]{7})^3 - 3\sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot 7} = 2+5+7 - 3\sqrt[3]{70} = 14 - 3\sqrt[3]{70} $.

3. Теперь наша дробь имеет вид:

$ \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{10} - \sqrt[3]{35} - \sqrt[3]{14}}{14 - 3\sqrt[3]{70}} $

4. Чтобы избавиться от оставшейся иррациональности в знаменателе, используем формулу разности кубов $ u^3-v^3 = (u-v)(u^2+uv+v^2) $. Пусть $ u=14, v=3\sqrt[3]{70} $. Домножим числитель и знаменатель на $ u^2+uv+v^2 $.

$ u^2+uv+v^2 = 14^2 + 14(3\sqrt[3]{70}) + (3\sqrt[3]{70})^2 = 196 + 42\sqrt[3]{70} + 9\sqrt[3]{4900} $.

Новый знаменатель будет равен $ u^3-v^3 = 14^3 - (3\sqrt[3]{70})^3 = 2744 - 27 \cdot 70 = 2744 - 1890 = 854 $.

5. Новый числитель будет произведением:

$ (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{10} - \sqrt[3]{35} - \sqrt[3]{14}) \cdot (196 + 42\sqrt[3]{70} + 9\sqrt[3]{4900}) $

Раскрытие этих скобок — громоздкая операция. Заметим, что числа под корнями в исходном знаменателе связаны свойством $2+5=7$. Это позволяет упростить некоторые промежуточные вычисления при раскрытии скобок. После выполнения всех умножений и приведения подобных слагаемых, числитель принимает вид:

$ -119\sqrt[3]{4} + 70\sqrt[3]{25} + 106\sqrt[3]{49} + 98\sqrt[3]{10} + 14\sqrt[3]{14} - 112\sqrt[3]{35} + 21\sqrt[3]{700} + 3\sqrt[3]{980} - 24\sqrt[3]{2450} $

6. Итоговое выражение:

$ \frac{-119\sqrt[3]{4} + 70\sqrt[3]{25} + 106\sqrt[3]{49} + 98\sqrt[3]{10} + 14\sqrt[3]{14} - 112\sqrt[3]{35} + 21\sqrt[3]{700} + 3\sqrt[3]{980} - 24\sqrt[3]{2450}}{854} $

Ответ: $ \frac{-119\sqrt[3]{4} + 70\sqrt[3]{25} + 106\sqrt[3]{49} + 98\sqrt[3]{10} + 14\sqrt[3]{14} - 112\sqrt[3]{35} + 21\sqrt[3]{700} + 3\sqrt[3]{980} - 24\sqrt[3]{2450}}{854} $.