Номер 21, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 21, страница 316.

Условие.

21. a) $\sqrt{3} + \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$;

В) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$;

г) $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Выражение $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ представляет собой сумму двух иррациональных чисел. Поскольку подкоренные выражения 3 и 5 являются простыми числами, вынести множитель из-под знака корня или иным образом упростить эту сумму невозможно. Таким образом, выражение уже представлено в своей простейшей форме.

Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{5}$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, выражение $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ является суммой квадратных корней из простых чисел 2 и 3. Данное выражение нельзя упростить, так как не существует правила сложения корней с разными подкоренными выражениями. Оно уже находится в простейшей форме.

Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

в)

В данном выражении $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ в знаменателе находится иррациональность. Чтобы упростить выражение, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ является $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.

При умножении знаменателя на сопряженное выражение используем формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1}$.

Разделив числитель на -1, мы меняем знаки у каждого слагаемого в числителе:

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} = -(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = -\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

г)

Выражение $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ является суммой квадратного корня из 2 и кубического корня из 3. Это сумма двух иррациональных чисел, причем корни имеют разные степени (квадратный и кубический). Не существует алгебраических правил для упрощения такой суммы. Поэтому данное выражение уже представлено в своей простейшей форме.

Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$.