Номер 18, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 18, страница 316.

Условие.

18. Докажите, что если натуральное число $a$ не является полным квадратом, то $\sqrt{a}$ — иррациональное число.

Решение 5.

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что $\sqrt{a}$ является рациональным числом, хотя по условию натуральное число $a$ не является полным квадратом.

По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа (поскольку $a > 0$, то и $\sqrt{a} > 0$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Итак, пусть $\sqrt{a} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $a = \left(\frac{p}{q}\right)^2$ $a = \frac{p^2}{q^2}$

Выразим $a$ через $p$ и $q$: $a \cdot q^2 = p^2$

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на $q^2$.

Вспомним, что мы представили $\sqrt{a}$ в виде несократимой дроби, то есть $p$ и $q$ являются взаимно простыми числами. Если два числа взаимно просты, то и их квадраты также взаимно просты. Следовательно, НОД$(p^2, q^2) = 1$.

Единственный способ, которым $p^2$ может делиться на $q^2$ при условии, что они взаимно просты, — это если $q^2 = 1$.

Поскольку $q$ — натуральное число, из $q^2 = 1$ следует, что $q=1$.

Теперь подставим $q=1$ в наше равенство $a \cdot q^2 = p^2$: $a \cdot 1^2 = p^2$ $a = p^2$

Так как $p$ — натуральное число, то полученное равенство $a = p^2$ означает, что $a$ является полным квадратом натурального числа $p$.

Это утверждение противоречит исходному условию задачи, согласно которому натуральное число $a$ не является полным квадратом.

Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что $\sqrt{a}$ — рациональное число. Следовательно, это предположение было неверным.

Таким образом, если натуральное число $a$ не является полным квадратом, то $\sqrt{a}$ — иррациональное число.

Ответ: Утверждение доказано.