Номер 18, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 18, страница 316.
№18 (с. 316)
Условие. №18 (с. 316)
скриншот условия

18. Докажите, что если натуральное число $a$ не является полным квадратом, то $\sqrt{a}$ — иррациональное число.
Решение 5. №18 (с. 316)
Доказательство проведем методом от противного.
Предположим, что $\sqrt{a}$ является рациональным числом, хотя по условию натуральное число $a$ не является полным квадратом.
По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа (поскольку $a > 0$, то и $\sqrt{a} > 0$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.
Итак, пусть $\sqrt{a} = \frac{p}{q}$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат: $a = \left(\frac{p}{q}\right)^2$ $a = \frac{p^2}{q^2}$
Выразим $a$ через $p$ и $q$: $a \cdot q^2 = p^2$
Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на $q^2$.
Вспомним, что мы представили $\sqrt{a}$ в виде несократимой дроби, то есть $p$ и $q$ являются взаимно простыми числами. Если два числа взаимно просты, то и их квадраты также взаимно просты. Следовательно, НОД$(p^2, q^2) = 1$.
Единственный способ, которым $p^2$ может делиться на $q^2$ при условии, что они взаимно просты, — это если $q^2 = 1$.
Поскольку $q$ — натуральное число, из $q^2 = 1$ следует, что $q=1$.
Теперь подставим $q=1$ в наше равенство $a \cdot q^2 = p^2$: $a \cdot 1^2 = p^2$ $a = p^2$
Так как $p$ — натуральное число, то полученное равенство $a = p^2$ означает, что $a$ является полным квадратом натурального числа $p$.
Это утверждение противоречит исходному условию задачи, согласно которому натуральное число $a$ не является полным квадратом.
Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что $\sqrt{a}$ — рациональное число. Следовательно, это предположение было неверным.
Таким образом, если натуральное число $a$ не является полным квадратом, то $\sqrt{a}$ — иррациональное число.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 18 расположенного на странице 316 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18 (с. 316), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.