Номер 18, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 18, страница 316.

№18 (с. 316)
Условие. №18 (с. 316)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 316, номер 18, Условие

18. Докажите, что если натуральное число $a$ не является полным квадратом, то $\sqrt{a}$ — иррациональное число.

Решение 5. №18 (с. 316)

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что $\sqrt{a}$ является рациональным числом, хотя по условию натуральное число $a$ не является полным квадратом.

По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа (поскольку $a > 0$, то и $\sqrt{a} > 0$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Итак, пусть $\sqrt{a} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $a = \left(\frac{p}{q}\right)^2$ $a = \frac{p^2}{q^2}$

Выразим $a$ через $p$ и $q$: $a \cdot q^2 = p^2$

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на $q^2$.

Вспомним, что мы представили $\sqrt{a}$ в виде несократимой дроби, то есть $p$ и $q$ являются взаимно простыми числами. Если два числа взаимно просты, то и их квадраты также взаимно просты. Следовательно, НОД$(p^2, q^2) = 1$.

Единственный способ, которым $p^2$ может делиться на $q^2$ при условии, что они взаимно просты, — это если $q^2 = 1$.

Поскольку $q$ — натуральное число, из $q^2 = 1$ следует, что $q=1$.

Теперь подставим $q=1$ в наше равенство $a \cdot q^2 = p^2$: $a \cdot 1^2 = p^2$ $a = p^2$

Так как $p$ — натуральное число, то полученное равенство $a = p^2$ означает, что $a$ является полным квадратом натурального числа $p$.

Это утверждение противоречит исходному условию задачи, согласно которому натуральное число $a$ не является полным квадратом.

Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что $\sqrt{a}$ — рациональное число. Следовательно, это предположение было неверным.

Таким образом, если натуральное число $a$ не является полным квадратом, то $\sqrt{a}$ — иррациональное число.

Ответ: Утверждение доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 18 расположенного на странице 316 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18 (с. 316), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.