Номер 12, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 12, страница 315.

Условие.

Докажите равенства методом математической индукции
($n \in N$) (12–13).

12.

a) $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n-1)}{6};$

б) $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3};$

в) $1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n - 1)^3 = n^2 (2n^2 - 1);$

г) $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + ... + n \cdot n! = (n + 1)! - 1.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n-1)}{6}$

Заметим, что в формуле из условия, вероятно, допущена опечатка. При $n=1$ левая часть равна $1^2=1$, а правая $\frac{1(1+1)(2\cdot1-1)}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Равенство не выполняется. Стандартная формула для суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел имеет вид $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Докажем это верное равенство методом математической индукции.

1. База индукции.
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать:
$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
Возьмем левую часть и используем индукционное предположение:
$(1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$.
Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)$:
$= (k+1) \left(\frac{k(2k+1)}{6} + k+1\right) = (k+1) \left(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\right) = (k+1) \frac{2k^2+7k+6}{6}$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $2k^2+7k+6$. Его корни $k_1=-2$ и $k_2=-3/2$. Тогда $2k^2+7k+6 = 2(k+2)(k+3/2) = (k+2)(2k+3)$.
Получаем: $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
Эта правая часть совпадает с тем, что мы хотели доказать. Индукционный переход выполнен.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство доказано для всех натуральных $n$.
Ответ: равенство (с исправленной правой частью) доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.

б) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

1. База индукции.
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $(2\cdot1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(2\cdot1-1)(2\cdot1+1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k - 1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. $n$-й член последовательности равен $(2n-1)^2$, значит $(k+1)$-й член равен $(2(k+1)-1)^2 = (2k+1)^2$. Нам нужно доказать:
$1^2 + 3^2 + \dots + (2k-1)^2 + (2k+1)^2 = \frac{(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3} = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$.
Возьмем левую часть и используем индукционное предположение:
$(1^2 + 3^2 + \dots + (2k-1)^2) + (2k+1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2$.
Вынесем общий множитель $(2k+1)$:
$= (2k+1) \left(\frac{k(2k-1)}{3} + 2k+1\right) = (2k+1) \left(\frac{2k^2-k+3(2k+1)}{3}\right) = (2k+1) \frac{2k^2-k+6k+3}{3} = (2k+1) \frac{2k^2+5k+3}{3}$.
Разложим на множители $2k^2+5k+3$. Корни: $k_1=-1, k_2=-3/2$. Тогда $2k^2+5k+3 = 2(k+1)(k+3/2)=(k+1)(2k+3)$.
Получаем: $\frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3} = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$.
Равенство для $n=k+1$ доказано. По принципу математической индукции, исходное равенство верно для всех натуральных $n$.
Ответ: равенство доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.

в) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$

1. База индукции.
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $(2\cdot1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.
Правая часть: $1^2(2\cdot1^2 - 1) = 1(2 - 1) = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2k-1)^3 = k^2(2k^2 - 1)$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Нам нужно доказать:
$1^3 + 3^3 + \dots + (2k-1)^3 + (2(k+1)-1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)$.
Преобразуем правую часть: $(k+1)^2(2(k^2+2k+1) - 1) = (k+1)^2(2k^2+4k+1)$.
Теперь преобразуем левую часть, используя индукционное предположение:
$(1^3 + 3^3 + \dots + (2k-1)^3) + (2k+1)^3 = k^2(2k^2 - 1) + (2k+1)^3$.
Раскроем скобки:
$= 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.
Раскроем скобки в выражении, которое мы должны были получить:
$(k+1)^2(2k^2+4k+1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) = k^2(2k^2+4k+1) + 2k(2k^2+4k+1) + 1(2k^2+4k+1) = (2k^4+4k^3+k^2) + (4k^3+8k^2+2k) + (2k^2+4k+1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.
Оба выражения тождественны. Равенство для $n=k+1$ доказано. По принципу математической индукции, исходное равенство верно для всех натуральных $n$.
Ответ: равенство доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.

г) $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n! = (n+1)! - 1$

1. База индукции.
Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot 1! = 1$.
Правая часть: $(1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:
$1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + k \cdot k! = (k+1)! - 1$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Нам нужно доказать:
$1 \cdot 1! + \dots + k \cdot k! + (k+1) \cdot (k+1)! = ((k+1)+1)! - 1 = (k+2)! - 1$.
Возьмем левую часть и используем индукционное предположение:
$(1 \cdot 1! + \dots + k \cdot k!) + (k+1) \cdot (k+1)! = ((k+1)! - 1) + (k+1) \cdot (k+1)!$.
Сгруппируем слагаемые с факториалом:
$= (k+1)! + (k+1) \cdot (k+1)! - 1$.
Вынесем общий множитель $(k+1)!$:
$= (k+1)!(1 + k+1) - 1 = (k+1)!(k+2) - 1$.
По определению факториала, $(k+2) \cdot (k+1)! = (k+2)!$.
Получаем: $(k+2)! - 1$.
Равенство для $n=k+1$ доказано. По принципу математической индукции, исходное равенство верно для всех натуральных $n$.
Ответ: равенство доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.