Номер 7, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 7, страница 314.

Условие.

7. Докажите признаки делимости на:

а) 5

б) 3

в) 9

Решение 3.

Решение 5.

а) 5
Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0 или 5.
Доказательство:
Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Если число $N$ имеет цифры $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ (где $a_0$ — цифра в разряде единиц), то его значение равно: $N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0$
$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$
Все слагаемые в этой сумме, кроме последнего ($a_0$), содержат множитель 10. Вынесем 10 за скобки для этих слагаемых: $N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_1) + a_0$
Первое слагаемое, $10 \cdot (\dots)$, делится на 5 без остатка, так как множитель 10 делится на 5 ($10 = 2 \cdot 5$). Таким образом, число $N$ является суммой двух слагаемых, одно из которых заведомо делится на 5. Следовательно, делимость всей суммы на 5 зависит только от делимости второго слагаемого — последней цифры $a_0$.
Число $N$ делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра $a_0$ делится на 5.
Среди возможных цифр (от 0 до 9) на 5 делятся только 0 и 5.
Следовательно, признак доказан: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Ответ:

б) 3
Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Доказательство:
Рассмотрим число $N$, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$
Ключевая идея доказательства состоит в том, чтобы представить каждую степень десяти $10^k$ как сумму числа, кратного 3, и 1. $10 = 9 + 1$
$100 = 99 + 1$
$1000 = 999 + 1$
В общем виде: $10^k = \underbrace{99\dots9}_{k \text{ раз}} + 1$. Число, состоящее из одних девяток, всегда делится на 9, а значит, и на 3.
Перепишем выражение для $N$, подставив эти представления: $N = a_n(\underbrace{99\dots9}_{n} + 1) + a_{n-1}(\underbrace{99\dots9}_{n-1} + 1) + \dots + a_1(9 + 1) + a_0$
Раскроем скобки: $N = (a_n \cdot \underbrace{99\dots9}_{n} + a_{n-1} \cdot \underbrace{99\dots9}_{n-1} + \dots + a_1 \cdot 9) + (a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0)$
Первая группа слагаемых (в первых скобках) представляет собой сумму произведений, каждый из которых делится на 3. Следовательно, вся эта сумма делится на 3.
Вторая группа слагаемых (во вторых скобках) — это в точности сумма цифр числа $N$.
Таким образом, мы представили число $N$ в виде суммы двух слагаемых: первое делится на 3, а второе является суммой цифр числа $N$. Делимость всего числа $N$ на 3 зависит от того, делится ли на 3 второе слагаемое.
Следовательно, признак доказан: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Ответ:

в) 9
Признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Доказательство:
Доказательство этого признака почти полностью повторяет доказательство для признака делимости на 3.
Представим число $N$ в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$
Как и ранее, представим каждую степень десяти $10^k$ в виде $10^k = (\underbrace{99\dots9}_{k \text{ раз}}) + 1$. Число, состоящее из $k$ девяток, очевидно, делится на 9.
Подставим это в выражение для $N$ и перегруппируем слагаемые: $N = a_n(\underbrace{99\dots9}_{n} + 1) + \dots + a_1(9 + 1) + a_0$
$N = (a_n \cdot \underbrace{99\dots9}_{n} + \dots + a_1 \cdot 9) + (a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0)$
Первое слагаемое в полученной сумме (выражение в первых скобках) делится на 9, так как каждое слагаемое внутри него делится на 9.
Второе слагаемое — это сумма цифр числа $N$.
Число $N$ представлено как сумма двух членов. Первый член делится на 9. Значит, чтобы вся сумма делилась на 9, необходимо и достаточно, чтобы второй член (сумма цифр) также делился на 9.
Следовательно, признак доказан: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Ответ: