Номер 2, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 2, страница 314.
№2 (с. 314)
Условие. №2 (с. 314)
скриншот условия

2. При каких целых $a$ оба корня уравнения $x^2 + ax^2 + 6 = 0$ являются целыми числами?
Решение 5. №2 (с. 314)
Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 + ax + 6 = 0$. По условию, параметр $a$ является целым числом, и оба корня уравнения, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, также являются целыми числами.
Для решения этой задачи наиболее удобным является использование теоремы Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:
- Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
- Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
В нашем случае, $p=a$ и $q=6$. Таким образом, мы имеем систему уравнений:
- $x_1 + x_2 = -a$
- $x_1 \cdot x_2 = 6$
Из второго уравнения $x_1 \cdot x_2 = 6$ следует, что целые корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целочисленными делителями числа 6. Найдем все возможные пары целых чисел $(x_1, x_2)$, произведение которых равно 6.
Целочисленные делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Возможные пары корней $(x_1, x_2)$ (порядок не важен для нахождения суммы):
- $\{1, 6\}$
- $\{-1, -6\}$
- $\{2, 3\}$
- $\{-2, -3\}$
Теперь для каждой пары корней найдем соответствующее значение параметра $a$ из первого уравнения $a = -(x_1 + x_2)$. Так как $x_1$ и $x_2$ — целые числа, их сумма также будет целой, а значит и $a$ будет целым, что удовлетворяет условию задачи.
- Для пары корней $\{1, 6\}$:
$x_1 + x_2 = 1 + 6 = 7$.
$a = -(7) = -7$. - Для пары корней $\{-1, -6\}$:
$x_1 + x_2 = -1 + (-6) = -7$.
$a = -(-7) = 7$. - Для пары корней $\{2, 3\}$:
$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$.
$a = -(5) = -5$. - Для пары корней $\{-2, -3\}$:
$x_1 + x_2 = -2 + (-3) = -5$.
$a = -(-5) = 5$.
Мы нашли все возможные целые значения параметра $a$, при которых оба корня уравнения являются целыми числами. Это значения -7, 7, -5, 5.
Ответ: $a \in \{-7, -5, 5, 7\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 314 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 314), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.