Номер 2, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 2, страница 314.

Условие.

2. При каких целых $a$ оба корня уравнения $x^2 + ax^2 + 6 = 0$ являются целыми числами?

Решение 5.

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 + ax + 6 = 0$. По условию, параметр $a$ является целым числом, и оба корня уравнения, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, также являются целыми числами.

Для решения этой задачи наиболее удобным является использование теоремы Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае, $p=a$ и $q=6$. Таким образом, мы имеем систему уравнений:

• $x_1 + x_2 = -a$
• $x_1 \cdot x_2 = 6$

Из второго уравнения $x_1 \cdot x_2 = 6$ следует, что целые корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целочисленными делителями числа 6. Найдем все возможные пары целых чисел $(x_1, x_2)$, произведение которых равно 6.

Целочисленные делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Возможные пары корней $(x_1, x_2)$ (порядок не важен для нахождения суммы):

1. $\{1, 6\}$
2. $\{-1, -6\}$
3. $\{2, 3\}$
4. $\{-2, -3\}$

Теперь для каждой пары корней найдем соответствующее значение параметра $a$ из первого уравнения $a = -(x_1 + x_2)$. Так как $x_1$ и $x_2$ — целые числа, их сумма также будет целой, а значит и $a$ будет целым, что удовлетворяет условию задачи.

• Для пары корней $\{1, 6\}$:
  $x_1 + x_2 = 1 + 6 = 7$.
  $a = -(7) = -7$.
• Для пары корней $\{-1, -6\}$:
  $x_1 + x_2 = -1 + (-6) = -7$.
  $a = -(-7) = 7$.
• Для пары корней $\{2, 3\}$:
  $x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$.
  $a = -(5) = -5$.
• Для пары корней $\{-2, -3\}$:
  $x_1 + x_2 = -2 + (-3) = -5$.
  $a = -(-5) = 5$.

Мы нашли все возможные целые значения параметра $a$, при которых оба корня уравнения являются целыми числами. Это значения -7, 7, -5, 5.

Ответ: $a \in \{-7, -5, 5, 7\}$.