Номер 3, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 3, страница 314.

Условие.

3. Докажите, что:

а) наименьший (отличный от 1) делитель составного числа $N$ не превосходит $\sqrt{N}$;

б) число $N$ имеет нечетное число делителей тогда и только тогда, когда $N$ — точный квадрат.

Решение 5.

а) Пусть $N$ — составное число. По определению, у него есть делитель, отличный от 1 и самого $N$. Пусть $d$ — наименьший из таких делителей (то есть $d > 1$).
Поскольку $d$ является делителем $N$, мы можем записать $N = d \cdot k$ для некоторого целого числа $k$.
Число $k = N/d$ также является делителем $N$. Так как $d > 1$, то $k = N/d < N$. Кроме того, $k$ не может быть равно 1, иначе $N = d$, что противоречит условию, что $N$ — составное число (в этом случае его единственными делителями были бы 1 и $N$, т.е. оно было бы простым). Следовательно, $k > 1$.
По определению, $d$ — это наименьший делитель числа $N$, больший 1. Так как $k$ — это тоже делитель $N$ и $k > 1$, то должно выполняться неравенство $d \leq k$.
Теперь докажем утверждение от противного. Предположим, что $d > \sqrt{N}$.
Поскольку мы установили, что $k \geq d$, из нашего предположения следует, что и $k > \sqrt{N}$.
Перемножим эти два неравенства: $d \cdot k > \sqrt{N} \cdot \sqrt{N}$.
Отсюда следует, что $N > N$. Мы пришли к противоречию.
Следовательно, наше первоначальное предположение (что $d > \sqrt{N}$) неверно. Это означает, что должно выполняться $d \leq \sqrt{N}$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Для доказательства этого утверждения сгруппируем все делители числа $N$ в пары.
Если $d$ является делителем числа $N$, то число $k = N/d$ также является делителем $N$. Таким образом, мы можем образовать пары делителей вида $(d, N/d)$.
Далее возможны два сценария:

1. Число $N$ не является точным квадратом.
В этом случае $\sqrt{N}$ не является целым числом. Это значит, что для любого целочисленного делителя $d$ мы не можем иметь $d = \sqrt{N}$, а следовательно $d^2 \neq N$, или $d \neq N/d$. Таким образом, каждый делитель $d$ объединяется в пару с другим, отличным от него, делителем $k = N/d$. Все делители разбиваются на пары различных чисел, и общее число делителей равно удвоенному количеству таких пар, то есть является четным числом.

2. Число $N$ является точным квадратом.
Пусть $N = m^2$ для некоторого целого числа $m$. Тогда $\sqrt{N} = m$ — это целый делитель числа $N$. Для этого делителя $d = m$ соответствующий ему парный делитель $k = N/d = m^2/m = m$. То есть, делитель $m$ образует пару сам с собой. Все остальные делители $d' \neq m$ разбиваются на пары $(d', N/d')$, где $d' \neq N/d'$, как и в предыдущем случае. Их количество четно. Таким образом, общее число делителей равно сумме четного числа делителей (из пар) и одного "непарного" делителя $m$. Четное число плюс единица всегда дает нечетное число.

Итак, мы показали, что если $N$ — точный квадрат, то число делителей нечетно, а если $N$ — не точный квадрат, то число делителей четно. Это доказывает утверждение "тогда и только тогда".
Ответ: Утверждение доказано.