Номер 6, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 6, страница 314.

Условие.

6. а) В десятичной записи числа 300 единиц и несколько нулей (а других цифр нет). Может ли это число быть точным квадратом?

б) 2008-значное число $a$ делится на 9. Сумма цифр $a$ — число $b$, сумма цифр $b$ — число $c$, сумма цифр $c$ — число $d$. Найдите $d$.

Решение 5.

а)

Пусть $N$ — это число, в десятичной записи которого 300 единиц и несколько нулей. Сумма цифр этого числа, обозначим ее $S(N)$, равна количеству единиц, то есть $S(N) = 300$.

Воспользуемся признаком делимости на 9: любое целое число имеет такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. Это можно записать в виде сравнения по модулю: $N \equiv S(N) \pmod 9$.

Поскольку $S(N) = 300$, то $N \equiv 300 \pmod 9$. Найдем остаток от деления 300 на 9: $300 = 33 \times 9 + 3$. Следовательно, $N \equiv 3 \pmod 9$.

Теперь рассмотрим, какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 9. Пусть $k$ — любое целое число. Найдем возможные значения $k^2 \pmod 9$.
Остатки $k$ при делении на 9 могут быть $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
Тогда остатки $k^2$ при делении на 9 будут:
$0^2 \equiv 0 \pmod 9$
$1^2 \equiv 1 \pmod 9$
$2^2 \equiv 4 \pmod 9$
$3^2 = 9 \equiv 0 \pmod 9$
$4^2 = 16 \equiv 7 \pmod 9$
$5^2 = 25 \equiv 7 \pmod 9$
$6^2 = 36 \equiv 0 \pmod 9$
$7^2 = 49 \equiv 4 \pmod 9$
$8^2 = 64 \equiv 1 \pmod 9$

Таким образом, остатки от деления точного квадрата на 9 могут быть только $0, 1, 4$ или $7$. Наше число $N$ дает остаток $3$ при делении на 9. Так как $3$ не входит в множество возможных остатков $\{0, 1, 4, 7\}$, число $N$ не может быть точным квадратом.

Другое объяснение: сумма цифр числа $N$ равна 300. Поскольку 300 делится на 3 ($300 = 3 \times 100$), то и само число $N$ делится на 3. Если число, делящееся на простое число $p$, является точным квадратом, то оно должно делиться и на $p^2$. В нашем случае $p=3$, значит, если $N$ — точный квадрат, то оно должно делиться на $3^2=9$. Однако сумма цифр числа $N$ равна 300, а 300 не делится на 9. Значит, и число $N$ не делится на 9. Это противоречие доказывает, что $N$ не может быть точным квадратом.

Ответ: Нет, не может.

б)

Пусть $S(x)$ обозначает сумму цифр числа $x$. Нам дано 2008-значное число $a$, которое делится на 9. Также даны следующие соотношения: $b = S(a)$, $c = S(b)$, $d = S(c)$.

Используем основное свойство суммы цифр: любое натуральное число $n$ сравнимо со своей суммой цифр $S(n)$ по модулю 9, то есть $n \equiv S(n) \pmod 9$.

Применяя это свойство последовательно, получаем цепочку сравнений:
$a \equiv S(a) = b \pmod 9$
$b \equiv S(b) = c \pmod 9$
$c \equiv S(c) = d \pmod 9$
Из этого следует, что $a \equiv b \equiv c \equiv d \pmod 9$.

По условию, число $a$ делится на 9, значит $a \equiv 0 \pmod 9$. Следовательно, $d \equiv 0 \pmod 9$, то есть $d$ должно быть кратно 9. Поскольку $a$ — 2008-значное число, оно положительно, значит $b=S(a)>0$, $c=S(b)>0$ и $d=S(c)>0$. Таким образом, $d$ — положительное число, кратное 9.

Теперь оценим величину числа $d$.
Число $a$ является 2008-значным. Максимальная цифра в записи числа — это 9. Значит, максимальная возможная сумма цифр числа $a$, а следовательно, максимальное значение для $b$, равна:$b = S(a) \le 2008 \times 9 = 18072$.

Далее, найдем максимальное значение для $c = S(b)$, где $b$ — натуральное число, не превышающее 18072. Наибольшую сумму цифр среди чисел, меньших или равных 18072, имеет число 9999. $S(9999) = 9+9+9+9=36$. Для любого другого числа $b \le 18072$ сумма цифр будет не больше 36 (например, $S(17999) = 35$, а $S(18072)=18$). Итак, $c = S(b) \le 36$.

Мы знаем, что $c$ — это положительное число и $c$ делится на 9. Учитывая, что $c \le 36$, возможные значения для $c$ это $9, 18, 27, 36$.

Наконец, найдем $d = S(c)$ для каждого из этих возможных значений $c$:
Если $c = 9$, то $d = S(9) = 9$.
Если $c = 18$, то $d = S(18) = 1+8 = 9$.
Если $c = 27$, то $d = S(27) = 2+7 = 9$.
Если $c = 36$, то $d = S(36) = 3+6 = 9$.
Во всех возможных случаях значение $d$ равно 9.

Ответ: $d=9$.