Номер 4, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 4, страница 314.

Условие.

4. Найдите число делителей числа $n$, если:

а) $n = 1024$;

б) $n = 210$;

в) $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$ ($\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k$ — натуральные, $p_1, p_2, \dots, p_k$ — различные простые числа);

г) $n = 10!$

($k!$ — обозначение произведения $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot k$).

Решение 5.

Для нахождения числа делителей натурального числа $n$ используется его каноническое разложение на простые множители. Если $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$, где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа, а $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ — их натуральные степени, то число делителей $d(n)$ вычисляется по формуле: $d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1)$. Эта формула будет использована для решения всех пунктов задачи.

а) $n = 1024$

Сначала найдем каноническое разложение числа 1024 на простые множители. Число 1024 является степенью двойки: $1024 = 2^{10}$. В данном случае у нас один простой множитель $p_1 = 2$ со степенью $\alpha_1 = 10$. Применяем формулу для числа делителей: $d(1024) = (\alpha_1 + 1) = (10 + 1) = 11$. Таким образом, у числа 1024 существует 11 натуральных делителей. Это числа: $2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{10}$.
Ответ: 11.

б) $n = 210$

Разложим число 210 на простые множители: $210 = 10 \cdot 21 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$. Здесь у нас четыре различных простых множителя: $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 5$, $p_4 = 7$. Все они имеют степень $\alpha_i = 1$. Применяем формулу для числа делителей: $d(210) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$.
Ответ: 16.

в) $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$ ($\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ — натуральные, $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа)

Это общий случай, для которого нужно вывести формулу числа делителей. Пусть число $n$ имеет каноническое разложение $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$. Любой делитель $d$ числа $n$ должен иметь вид $d = p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \cdots p_k^{\beta_k}$, где показатель степени $\beta_i$ для каждого простого множителя $p_i$ может принимать значения от 0 до $\alpha_i$ включительно. То есть, $0 \le \beta_i \le \alpha_i$ для всех $i$ от 1 до $k$. Для показателя $\beta_1$ существует $\alpha_1 + 1$ возможных значений (0, 1, ..., $\alpha_1$). Для показателя $\beta_2$ существует $\alpha_2 + 1$ возможных значений (0, 1, ..., $\alpha_2$). ... Для показателя $\beta_k$ существует $\alpha_k + 1$ возможных значений (0, 1, ..., $\alpha_k$). Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число возможных наборов показателей $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_k)$, а следовательно, и общее число делителей числа $n$, равно произведению числа вариантов для каждого показателя: $d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1)$.
Ответ: $(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1)$.

г) $n = 10!$

Для начала найдем каноническое разложение числа $10!$ (10 факториал) на простые множители. $10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$. Простыми множителями в этом произведении будут все простые числа, не превосходящие 10, то есть 2, 3, 5, 7. Найдем степени, в которых они входят в разложение $10!$ путем разложения каждого сомножителя:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2 \cdot 3$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$
Соберем степени для каждого простого множителя:
Степень для $p=2$: $1$ (от 2) $+ 2$ (от 4) $+ 1$ (от 6) $+ 3$ (от 8) $+ 1$ (от 10) = $8$. Итак, $\alpha_1 = 8$.
Степень для $p=3$: $1$ (от 3) $+ 1$ (от 6) $+ 2$ (от 9) = $4$. Итак, $\alpha_2 = 4$.
Степень для $p=5$: $1$ (от 5) $+ 1$ (от 10) = $2$. Итак, $\alpha_3 = 2$.
Степень для $p=7$: $1$ (от 7). Итак, $\alpha_4 = 1$.
Таким образом, каноническое разложение числа $10!$ имеет вид: $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1$. Теперь вычислим число делителей по формуле: $d(10!) = (8+1)(4+1)(2+1)(1+1) = 9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 45 \cdot 6 = 270$.
Ответ: 270.