Номер 11, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 11, страница 315.

Условие.

11. Дано: $\lg 16 = 1,20412...$. Найдите количество цифр и первую цифру числа $125^{100}$.

Решение 5.

Для решения задачи нам нужно найти десятичный логарифм числа $125^{100}$.

Количество цифр числа $125^{100}$

Количество цифр в натуральном числе $N$ находится по формуле $k = \lfloor \lg N \rfloor + 1$, где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$ (характеристика логарифма), а $\lg$ — десятичный логарифм.

Для нахождения количества цифр в числе $125^{100}$, вычислим его десятичный логарифм $\lg(125^{100})$.

Используя свойство логарифма степени, получаем:

$\lg(125^{100}) = 100 \cdot \lg(125)$

Выразим $\lg(125)$ через $\lg 2$. Так как $125 = 5^3$ и $5 = \frac{10}{2}$, то:

$\lg(125) = \lg(5^3) = 3 \lg 5 = 3 \lg(\frac{10}{2}) = 3(\lg 10 - \lg 2) = 3(1 - \lg 2)$

Из условия задачи дано $\lg 16 = 1.20412...$. Найдем из него $\lg 2$:

$\lg 16 = \lg(2^4) = 4 \lg 2$

Следовательно, $4 \lg 2 \approx 1.20412$, откуда $\lg 2 \approx \frac{1.20412}{4} = 0.30103$.

Теперь подставим найденное значение $\lg 2$ в выражение для логарифма нашего числа:

$\lg(125^{100}) = 100 \cdot 3(1 - \lg 2) = 300(1 - \lg 2) \approx 300(1 - 0.30103) = 300 \cdot 0.69897 = 209.691$

Целая часть (характеристика) логарифма равна $\lfloor 209.691 \rfloor = 209$.

Количество цифр в числе $125^{100}$ равно $k = 209 + 1 = 210$.

Ответ: 210.

Первая цифра числа $125^{100}$

Первая цифра числа $N$ определяется мантиссой (дробной частью) $m$ его десятичного логарифма. Любое число можно представить в виде $N = 10^{\lg N} = 10^{C+m} = 10^m \cdot 10^C$, где $C$ — характеристика, а $m$ — мантисса. Первая цифра числа $N$ — это целая часть числа $10^m$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\lg(125^{100}) \approx 209.691$.

Характеристика логарифма: $C = \lfloor 209.691 \rfloor = 209$.

Мантисса логарифма: $m = \lg(125^{100}) - C \approx 209.691 - 209 = 0.691$.

Нам нужно найти первую цифру числа $125^{100} \approx 10^{0.691} \cdot 10^{209}$. Для этого сравним мантиссу $m \approx 0.691$ с логарифмами целых чисел.

Используем ранее найденное значение $\lg 2 \approx 0.30103$ для вычисления логарифмов ближайших целых чисел:

$\lg 4 = \lg(2^2) = 2 \lg 2 \approx 2 \cdot 0.30103 = 0.60206$

$\lg 5 = \lg(\frac{10}{2}) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2 \approx 1 - 0.30103 = 0.69897$

Сравниваем мантиссу $m$ с полученными значениями:

$0.60206 < 0.691 < 0.69897$

Это соответствует неравенству:

$\lg 4 < m < \lg 5$

Потенцируя это неравенство (возводя 10 в степень каждого члена), получаем:

$10^{\lg 4} < 10^m < 10^{\lg 5}$

$4 < 10^m < 5$

Поскольку $10^m$ — это число между 4 и 5, то число $125^{100} = 10^m \cdot 10^{209}$ будет начинаться с цифры 4.

Ответ: 4.