Номер 15, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 15, страница 316.

Условие.

15. Докажите методом математической индукции, что для любого натурального $n$:

а) $6^{2n-1} + 1$ кратно 7;

б) $3^{3n+2} + 2^{4n+1}$ кратно 11;

в) $4^n + 15n - 1$ кратно 9;

г) $7^{2n-1}$ кратно 48.

Решение 3.

Решение 5.

а) Докажем утверждение, что $6^{2n-1} + 1$ кратно 7, методом математической индукции.Шаг 1: База индукции. Проверим утверждение для $n=1$. Получаем $6^{2 \cdot 1 - 1} + 1 = 6^1 + 1 = 7$. Поскольку 7 делится на 7, база индукции верна.Шаг 2: Индукционное предположение. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $6^{2k-1} + 1$ кратно 7. Это означает, что существует целое число $m$ такое, что $6^{2k-1} + 1 = 7m$, откуда следует, что $6^{2k-1} = 7m - 1$.Шаг 3: Индукционный шаг. Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть, что $6^{2(k+1)-1} + 1$ кратно 7. Преобразуем выражение: $6^{2(k+1)-1} + 1 = 6^{2k+1} + 1 = 6^2 \cdot 6^{2k-1} + 1 = 36 \cdot 6^{2k-1} + 1$. Теперь используем индукционное предположение, подставив $6^{2k-1} = 7m - 1$: $36(7m - 1) + 1 = 36 \cdot 7m - 36 + 1 = 36 \cdot 7m - 35 = 7(36m - 5)$. Поскольку $m$ — целое число, то и $36m - 5$ является целым числом. Следовательно, выражение $6^{2(k+1)-1} + 1$ делится на 7. Таким образом, по принципу математической индукции утверждение доказано для всех натуральных $n$.Ответ: Доказано.

б) Докажем утверждение, что $3^{3n+2} + 2^{4n+1}$ кратно 11, методом математической индукции.Шаг 1: База индукции. Проверим для $n=1$: $3^{3 \cdot 1 + 2} + 2^{4 \cdot 1 + 1} = 3^5 + 2^5 = 243 + 32 = 275$. Поскольку $275 = 11 \cdot 25$, выражение делится на 11. База индукции верна.Шаг 2: Индукционное предположение. Предположим, что для некоторого натурального $n=k$ выражение $3^{3k+2} + 2^{4k+1}$ кратно 11. То есть $3^{3k+2} + 2^{4k+1} = 11m$ для некоторого целого $m$, откуда $3^{3k+2} = 11m - 2^{4k+1}$.Шаг 3: Индукционный шаг. Докажем утверждение для $n=k+1$: $3^{3(k+1)+2} + 2^{4(k+1)+1}$ кратно 11. Преобразуем выражение: $3^{3(k+1)+2} + 2^{4(k+1)+1} = 3^{3k+5} + 2^{4k+5} = 3^3 \cdot 3^{3k+2} + 2^4 \cdot 2^{4k+1} = 27 \cdot 3^{3k+2} + 16 \cdot 2^{4k+1}$. Используем предположение, подставив $3^{3k+2}$: $27(11m - 2^{4k+1}) + 16 \cdot 2^{4k+1} = 27 \cdot 11m - 27 \cdot 2^{4k+1} + 16 \cdot 2^{4k+1} = 27 \cdot 11m - 11 \cdot 2^{4k+1} = 11(27m - 2^{4k+1})$. Это выражение очевидно кратно 11. Утверждение доказано для всех натуральных $n$.Ответ: Доказано.

в) Докажем утверждение, что $4^n + 15n - 1$ кратно 9, методом математической индукции.Шаг 1: База индукции. Для $n=1$: $4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 18$. Поскольку $18 = 9 \cdot 2$, выражение делится на 9. База индукции верна.Шаг 2: Индукционное предположение. Предположим, для некоторого натурального $n=k$ выражение $4^k + 15k - 1$ кратно 9. То есть $4^k + 15k - 1 = 9m$ для некоторого целого $m$, откуда $4^k = 9m - 15k + 1$.Шаг 3: Индукционный шаг. Докажем для $n=k+1$: $4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ кратно 9. Преобразуем выражение: $4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14$. Используем предположение, подставив $4^k$: $4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 60k + 4 + 15k + 14 = 36m - 45k + 18 = 9(4m - 5k + 2)$. Это выражение очевидно кратно 9. Утверждение доказано для всех натуральных $n$.Ответ: Доказано.

г) Докажем утверждение, что $7^{2n} - 1$ кратно 48, методом математической индукции. В условии задачи, вероятно, содержится опечатка, и должно быть $7^{2n} - 1$, а не $7^{2n-1}$, так как для $n=1$ выражение $7^{2 \cdot 1 - 1} = 7$, что не кратно 48. Будем доказывать исправленное утверждение.Шаг 1: База индукции. Для $n=1$: $7^{2 \cdot 1} - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$. Поскольку 48 делится на 48, база индукции верна.Шаг 2: Индукционное предположение. Предположим, для некоторого натурального $n=k$ выражение $7^{2k} - 1$ кратно 48. То есть $7^{2k} - 1 = 48m$ для некоторого целого $m$, откуда $7^{2k} = 48m + 1$.Шаг 3: Индукционный шаг. Докажем для $n=k+1$: $7^{2(k+1)} - 1$ кратно 48. Преобразуем выражение: $7^{2(k+1)} - 1 = 7^{2k+2} - 1 = 7^2 \cdot 7^{2k} - 1 = 49 \cdot 7^{2k} - 1$. Используем предположение, подставив $7^{2k}$: $49(48m + 1) - 1 = 49 \cdot 48m + 49 - 1 = 49 \cdot 48m + 48 = 48(49m + 1)$. Это выражение очевидно кратно 48. Утверждение доказано для всех натуральных $n$.Ответ: Доказано.