Номер 20, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 20, страница 316.

Условие.

Докажите иррациональность чисел (20–22).

20. а) $\sqrt{3}$;

б) $\sqrt[3]{3}$;

в) $\lg 5$;

г) $\log_2 9$.

Решение 3.

Решение 5.

а) Доказательство иррациональности числа $\sqrt{3}$

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что число $\sqrt{3}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби:
$\sqrt{3} = \frac{p}{q}$, где $p$ – целое число ($p \in \mathbb{Z}$), $q$ – натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Возведем обе части равенства в квадрат:
$(\sqrt{3})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$
$3 = \frac{p^2}{q^2}$

Отсюда следует, что $p^2 = 3q^2$. Это означает, что $p^2$ делится на 3. Если квадрат целого числа делится на простое число 3, то и само число делится на 3. Следовательно, $p$ делится на 3.

Тогда число $p$ можно представить в виде $p = 3k$, где $k$ – некоторое целое число. Подставим это выражение в равенство $p^2 = 3q^2$:
$(3k)^2 = 3q^2$
$9k^2 = 3q^2$

Разделим обе части на 3:
$3k^2 = q^2$

Из этого равенства следует, что $q^2$ делится на 3, а значит, и само число $q$ делится на 3.

Таким образом, мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ можно сократить на 3, что противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь несократима (НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

б) Доказательство иррациональности числа $\sqrt[3]{3}$

Докажем от противного. Предположим, что $\sqrt[3]{3}$ – рациональное число. Тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$:
$\sqrt[3]{3} = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$, НОД$(p, q) = 1$.

Возведем обе части равенства в куб:
$(\sqrt[3]{3})^3 = \left(\frac{p}{q}\right)^3$
$3 = \frac{p^3}{q^3}$

Отсюда $p^3 = 3q^3$. Это значит, что $p^3$ делится на 3. Так как 3 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 3.

Представим $p$ в виде $p = 3k$ для некоторого целого $k$. Подставим это в равенство $p^3 = 3q^3$:
$(3k)^3 = 3q^3$
$27k^3 = 3q^3$

Разделим обе части на 3:
$9k^3 = q^3$

Из этого равенства следует, что $q^3$ делится на 9, а значит, $q^3$ делится и на 3. Следовательно, само число $q$ также делится на 3.

Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3, что противоречит условию несократимости дроби $\frac{p}{q}$.

Следовательно, наше предположение было ложным.

Ответ: Число $\sqrt[3]{3}$ является иррациональным.

в) Доказательство иррациональности числа $\lg 5$

Напомним, что $\lg 5 = \log_{10} 5$. Будем доказывать от противного. Предположим, что $\lg 5$ является рациональным числом. Тогда:
$\lg 5 = \frac{p}{q}$, где $p, q$ – целые числа, $q \neq 0$. Поскольку $\lg 5 > 0$, можно считать, что $p, q$ - натуральные числа ($p, q \in \mathbb{N}$).

По определению логарифма, это равенство эквивалентно следующему:
$10^{\frac{p}{q}} = 5$

Возведем обе части в степень $q$:
$(10^{\frac{p}{q}})^q = 5^q$
$10^p = 5^q$

Разложим число 10 на простые множители $10 = 2 \cdot 5$:
$(2 \cdot 5)^p = 5^q$
$2^p \cdot 5^p = 5^q$

Разделим обе части на $5^p$ (что допустимо, так как $5^p \neq 0$):
$2^p = 5^{q-p}$

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 имеет единственное разложение на простые множители.
Левая часть равенства, $2^p$, представляет собой степень двойки. Ее единственным простым делителем является 2 (если $p \ge 1$).
Правая часть, $5^{q-p}$, является степенью пятерки. Ее единственным простым делителем является 5 (если $q-p \ge 1$).

Равенство $2^p = 5^{q-p}$ для натуральных $p$ и целых $q-p$ возможно только в одном случае: когда обе части равны 1.
$2^p = 1 \implies p = 0$
$5^{q-p} = 1 \implies q-p = 0 \implies q = p$

Если $p = 0$, то и $q = 0$. Но мы предположили, что $q$ - натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), поэтому $q \neq 0$. Получаем противоречие.

Следовательно, наше исходное предположение о рациональности $\lg 5$ неверно.

Ответ: Число $\lg 5$ является иррациональным.

г) Доказательство иррациональности числа $\log_2 9$

Применим метод доказательства от противного. Предположим, что $\log_2 9$ – рациональное число. Тогда его можно представить в виде дроби:
$\log_2 9 = \frac{p}{q}$, где $p, q \in \mathbb{N}$ (так как $\log_2 9 > 0$).

Используя определение логарифма, перепишем равенство:
$2^{\frac{p}{q}} = 9$

Возведем обе части в степень $q$:
$(2^{\frac{p}{q}})^q = 9^q$
$2^p = 9^q$

Представим число 9 как степень простого числа: $9 = 3^2$.
$2^p = (3^2)^q$
$2^p = 3^{2q}$

Мы получили равенство двух натуральных чисел. Согласно основной теореме арифметики, разложение натурального числа на простые множители единственно.
В разложении левой части ($2^p$) на простые множители присутствует только простое число 2.
В разложении правой части ($3^{2q}$) на простые множители присутствует только простое число 3.

Поскольку разложения на простые множители различны, эти числа не могут быть равны. Единственный случай, когда степени различных простых чисел могут быть равны, — это когда обе они равны 1. Это требует, чтобы показатели степени были равны нулю: $p=0$ и $2q=0$, откуда $q=0$. Но $q$ - натуральное число, поэтому $q \neq 0$.

Мы пришли к противоречию, которое означает, что наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Число $\log_2 9$ является иррациональным.