Номер 24, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 24, страница 316.

Условие.

24. a) $\sqrt{67-42\sqrt{2}} + \sqrt{19-6\sqrt{2}}$

б) $\sqrt{51-4\sqrt{77}} - \sqrt{47-4\sqrt{33}}$

Решение 5.

а) $\sqrt{67-42\sqrt{2}} + \sqrt{19-6\sqrt{2}}$

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Наша цель — представить подкоренные выражения в виде полного квадрата.

1. Упростим первое слагаемое: $\sqrt{67-42\sqrt{2}}$.
Попытаемся представить подкоренное выражение $67-42\sqrt{2}$ в виде $(a-b\sqrt{c})^2$. Заметив $\sqrt{2}$, попробуем форму $(a-b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2}$.
Сравнивая это с $67-42\sqrt{2}$, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} a^2 + 2b^2 = 67 \\ 2ab = 42 \end{cases}$
Из второго уравнения получаем $ab = 21$. Подбирая целые множители для 21 (например, $a=7, b=3$), проверяем первое уравнение: $7^2 + 2 \cdot 3^2 = 49 + 2 \cdot 9 = 49 + 18 = 67$.
Пара чисел подходит. Следовательно, $67-42\sqrt{2} = (7-3\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{67-42\sqrt{2}} = \sqrt{(7-3\sqrt{2})^2} = |7-3\sqrt{2}|$.
Чтобы определить знак, сравним $7$ и $3\sqrt{2}$. Поскольку $7^2=49$ и $(3\sqrt{2})^2 = 18$, то $7 > 3\sqrt{2}$, и выражение $7-3\sqrt{2}$ положительно. Значит, $|7-3\sqrt{2}| = 7-3\sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое: $\sqrt{19-6\sqrt{2}}$.
Представим подкоренное выражение $19-6\sqrt{2}$ в виде $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$.
Здесь $2ab = 6\sqrt{2}$, откуда $ab = 3\sqrt{2}$. Также $a^2+b^2=19$.
Нам нужно найти два числа, произведение которых равно $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, а сумма их квадратов равна 19.
Попробуем $a=\sqrt{18}$ и $b=1$.
$a^2+b^2 = (\sqrt{18})^2 + 1^2 = 18+1=19$. Условие выполняется.
Следовательно, $19-6\sqrt{2} = (\sqrt{18}-1)^2 = (3\sqrt{2}-1)^2$.
Тогда $\sqrt{19-6\sqrt{2}} = \sqrt{(3\sqrt{2}-1)^2} = |3\sqrt{2}-1|$.
Поскольку $(3\sqrt{2})^2=18$ и $1^2=1$, то $3\sqrt{2} > 1$, и выражение $3\sqrt{2}-1$ положительно. Значит, $|3\sqrt{2}-1| = 3\sqrt{2}-1$.

3. Сложим полученные результаты:
$(7-3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2}-1) = 7 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 1 = 6$.

Ответ: 6.

б) $\sqrt{51-4\sqrt{77}} - \sqrt{47-4\sqrt{33}}$

Снова воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, чтобы упростить подкоренные выражения.

1. Упростим первое выражение: $\sqrt{51-4\sqrt{77}}$.
Представим $4\sqrt{77}$ в виде $2ab$. $4\sqrt{77} = 2 \cdot 2\sqrt{77}$. Мы ищем $a$ и $b$, такие что $a^2+b^2=51$ и $ab=2\sqrt{77}$.
Разложим $ab=2\sqrt{77}$ на множители: $ab = 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{11}$. Попробуем $a=2\sqrt{11}$ и $b=\sqrt{7}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (2\sqrt{11})^2 + (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 11 + 7 = 44+7=51$. Это соответствует нашему выражению.
Следовательно, $51-4\sqrt{77} = (2\sqrt{11}-\sqrt{7})^2$.
Тогда $\sqrt{51-4\sqrt{77}} = \sqrt{(2\sqrt{11}-\sqrt{7})^2} = |2\sqrt{11}-\sqrt{7}|$.
Поскольку $(2\sqrt{11})^2=44$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$, то $44>7$, и выражение $2\sqrt{11}-\sqrt{7}$ положительно. Значит, $|2\sqrt{11}-\sqrt{7}| = 2\sqrt{11}-\sqrt{7}$.

2. Упростим второе выражение: $\sqrt{47-4\sqrt{33}}$.
Представим $4\sqrt{33}$ в виде $2ab$. $4\sqrt{33} = 2 \cdot 2\sqrt{33}$. Разложим $ab=2\sqrt{33}$ на множители: $ab=2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{11}$.
Попробуем $a=2\sqrt{11}$ и $b=\sqrt{3}$.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (2\sqrt{11})^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 11 + 3 = 44+3=47$. Это соответствует нашему выражению.
Следовательно, $47-4\sqrt{33} = (2\sqrt{11}-\sqrt{3})^2$.
Тогда $\sqrt{47-4\sqrt{33}} = \sqrt{(2\sqrt{11}-\sqrt{3})^2} = |2\sqrt{11}-\sqrt{3}|$.
Поскольку $(2\sqrt{11})^2=44$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$, то $44>3$, и выражение $2\sqrt{11}-\sqrt{3}$ положительно. Значит, $|2\sqrt{11}-\sqrt{3}| = 2\sqrt{11}-\sqrt{3}$.

3. Вычтем второй результат из первого:
$(2\sqrt{11}-\sqrt{7}) - (2\sqrt{11}-\sqrt{3}) = 2\sqrt{11} - \sqrt{7} - 2\sqrt{11} + \sqrt{3} = \sqrt{3}-\sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{3}-\sqrt{7}$.