Номер 23, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 23, страница 316.

Условие.

Упростите выражения (23–24).

23. а) $\sqrt{2-\sqrt{3}};$

б) $\sqrt{129-56\sqrt{5}};$

в) $\sqrt{7+2\sqrt{10}};$

г) $\sqrt{57+12\sqrt{15}}.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ воспользуемся методом выделения полного квадрата. Цель — представить подкоренное выражение в виде $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого нам нужен множитель 2 перед внутренним корнем. Умножим и разделим подкоренное выражение на 2:

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2(2 - \sqrt{3})}{2}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Теперь рассмотрим выражение под корнем в числителе: $4 - 2\sqrt{3}$. Сравнивая его с формулой $(a-b)^2$, мы ищем два числа $a$ и $b$, для которых $a^2 + b^2 = 4$ и $2ab = 2\sqrt{3}$ (то есть $ab = \sqrt{3}$). Легко подобрать, что $a=\sqrt{3}$ и $b=1$, так как $(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3+1=4$.

Таким образом, $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$.

Подставляем обратно в выражение:

$\frac{\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{3} - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$ (поскольку $\sqrt{3} \approx 1.73 > 1$)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{(\sqrt{3} - 1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

б) Упростим выражение $\sqrt{129 - 56\sqrt{5}}$.

Мы ищем представление подкоренного выражения в виде $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.

Сравнивая с $129 - 56\sqrt{5}$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 129 \\ 2ab = 56\sqrt{5} \end{cases}$

Из второго уравнения: $ab = 28\sqrt{5}$.

Предположим, что одно из чисел, например $b$, содержит множитель $\sqrt{5}$, то есть $b = k\sqrt{5}$. Тогда $a \cdot k\sqrt{5} = 28\sqrt{5}$, что означает $ak=28$.

Проверим пару делителей числа 28, например, $a=7$ и $k=4$. В этом случае $b = 4\sqrt{5}$.

Проверим, выполняется ли первое уравнение: $a^2 + b^2 = 7^2 + (4\sqrt{5})^2 = 49 + 16 \cdot 5 = 49 + 80 = 129$.

Условие выполняется. Значит, $129 - 56\sqrt{5}$ можно представить в виде квадрата разности. Определим, какое из чисел больше: $7$ или $4\sqrt{5}$.

$7^2 = 49$, а $(4\sqrt{5})^2 = 80$. Так как $80 > 49$, то $4\sqrt{5} > 7$.

Поэтому $129 - 56\sqrt{5} = (4\sqrt{5} - 7)^2$.

Следовательно:

$\sqrt{129 - 56\sqrt{5}} = \sqrt{(4\sqrt{5} - 7)^2} = |4\sqrt{5} - 7| = 4\sqrt{5} - 7$

Ответ: $4\sqrt{5} - 7$

в) Упростим выражение $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$.

Выражение уже имеет вид $\sqrt{X+2\sqrt{Y}}$. Ищем представление подкоренного выражения в виде $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Сравнивая с $7 + 2\sqrt{10}$, получаем систему:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 7 \\ 2ab = 2\sqrt{10} \implies ab = \sqrt{10} \end{cases}$

Нам нужно найти два числа, квадраты которых в сумме дают 7, а их произведение равно $\sqrt{10}$. Можно предположить, что $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{y}$. Тогда $x+y=7$ и $\sqrt{xy}=\sqrt{10}$, то есть $xy=10$.

Подбором находим два числа, сумма которых 7, а произведение 10. Это числа 5 и 2.

Следовательно, $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$.

Таким образом, $7 + 2\sqrt{10} = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$.

Тогда:

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{2}| = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

г) Упростим выражение $\sqrt{57 + 12\sqrt{15}}$.

Сначала представим член $12\sqrt{15}$ в виде $2ab$, чтобы выделить множитель 2:

$12\sqrt{15} = 2 \cdot 6\sqrt{15}$.

Выражение принимает вид $\sqrt{57 + 2 \cdot 6\sqrt{15}}$. Внесем 6 под знак внутреннего корня:

$\sqrt{57 + 2\sqrt{36 \cdot 15}} = \sqrt{57 + 2\sqrt{540}}$.

Теперь ищем два числа $x$ и $y$ такие, что $x+y=57$ и $xy=540$. Эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 57t + 540 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 540 = 3249 - 2160 = 1089 = 33^2$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 + 33}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 - 33}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Итак, искомые числа - это 45 и 12.

Следовательно, $57 + 2\sqrt{540} = 45 + 12 + 2\sqrt{45 \cdot 12} = (\sqrt{45} + \sqrt{12})^2$.

Тогда:

$\sqrt{57 + 12\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{45} + \sqrt{12})^2} = \sqrt{45} + \sqrt{12}$.

Упростим полученные корни, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Окончательный результат: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$