Номер 27, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 27, страница 317.

Условие.

27. Докажите, что число $\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$ рационально.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы доказать, что данное число рационально, обозначим его через $x$: $x = \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$

Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$. Пусть $a = \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}}$ и $b = \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$. Тогда $x = a+b$.

$x^3 = \left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3$

$x^3 = \left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} \cdot \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}} \cdot \left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)$

Упростим это выражение. Сумма кубов первых двух слагаемых равна: $a^3 + b^3 = \left(6 + \sqrt{\frac{847}{27}}\right) + \left(6 - \sqrt{\frac{847}{27}}\right) = 6 + 6 = 12$.

Теперь вычислим произведение кубических корней: $ab = \sqrt[3]{\left(6 + \sqrt{\frac{847}{27}}\right) \left(6 - \sqrt{\frac{847}{27}}\right)}$

Применим формулу разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2 - d^2$ к выражению под корнем: $ab = \sqrt[3]{6^2 - \left(\sqrt{\frac{847}{27}}\right)^2} = \sqrt[3]{36 - \frac{847}{27}}$

Приведем дроби к общему знаменателю: $ab = \sqrt[3]{\frac{36 \cdot 27}{27} - \frac{847}{27}} = \sqrt[3]{\frac{972 - 847}{27}} = \sqrt[3]{\frac{125}{27}}$

Извлечем кубический корень: $ab = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5}{3}$

Теперь подставим найденные значения обратно в уравнение для $x^3$: $x^3 = (a^3+b^3) + 3ab(a+b)$ Поскольку $a+b$ это наше исходное число $x$, получаем: $x^3 = 12 + 3 \cdot \frac{5}{3} \cdot x$ $x^3 = 12 + 5x$

Мы получили кубическое уравнение относительно $x$: $x^3 - 5x - 12 = 0$

Чтобы доказать, что $x$ является рациональным числом, найдем рациональные корни этого уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если у этого уравнения есть рациональные корни, то они должны быть целыми делителями свободного члена (-12). Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:

• При $x=1$: $1^3 - 5(1) - 12 = 1 - 5 - 12 = -16 \neq 0$
• При $x=2$: $2^3 - 5(2) - 12 = 8 - 10 - 12 = -14 \neq 0$
• При $x=3$: $3^3 - 5(3) - 12 = 27 - 15 - 12 = 0$

Таким образом, $x=3$ является корнем уравнения.

Чтобы убедиться, что исходное число равно именно 3, покажем, что это единственный действительный корень. Разделим многочлен $x^3 - 5x - 12$ на $(x-3)$. В результате деления получим $x^2 + 3x + 4$. Таким образом, уравнение можно записать в виде: $(x-3)(x^2+3x+4) = 0$

Квадратное уравнение $x^2+3x+4=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$. Следовательно, кубическое уравнение $x^3 - 5x - 12 = 0$ имеет единственный действительный корень $x=3$.

Поскольку исходное выражение $x = \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$ является действительным числом (сумма двух действительных чисел), оно должно быть равно этому единственному действительному корню. Значит, $x=3$. Число 3 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$. Таким образом, мы доказали, что исходное число рационально.

Ответ: Исходное число равно 3, что является рациональным числом.