Номер 27, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 27, страница 317.
№27 (с. 317)
Условие. №27 (с. 317)
скриншот условия

27. Докажите, что число $\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$ рационально.
Решение 3. №27 (с. 317)

Решение 5. №27 (с. 317)
Чтобы доказать, что данное число рационально, обозначим его через $x$: $x = \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$
Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$. Пусть $a = \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}}$ и $b = \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$. Тогда $x = a+b$.
$x^3 = \left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3$
$x^3 = \left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} \cdot \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}} \cdot \left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)$
Упростим это выражение. Сумма кубов первых двух слагаемых равна: $a^3 + b^3 = \left(6 + \sqrt{\frac{847}{27}}\right) + \left(6 - \sqrt{\frac{847}{27}}\right) = 6 + 6 = 12$.
Теперь вычислим произведение кубических корней: $ab = \sqrt[3]{\left(6 + \sqrt{\frac{847}{27}}\right) \left(6 - \sqrt{\frac{847}{27}}\right)}$
Применим формулу разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2 - d^2$ к выражению под корнем: $ab = \sqrt[3]{6^2 - \left(\sqrt{\frac{847}{27}}\right)^2} = \sqrt[3]{36 - \frac{847}{27}}$
Приведем дроби к общему знаменателю: $ab = \sqrt[3]{\frac{36 \cdot 27}{27} - \frac{847}{27}} = \sqrt[3]{\frac{972 - 847}{27}} = \sqrt[3]{\frac{125}{27}}$
Извлечем кубический корень: $ab = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5}{3}$
Теперь подставим найденные значения обратно в уравнение для $x^3$: $x^3 = (a^3+b^3) + 3ab(a+b)$ Поскольку $a+b$ это наше исходное число $x$, получаем: $x^3 = 12 + 3 \cdot \frac{5}{3} \cdot x$ $x^3 = 12 + 5x$
Мы получили кубическое уравнение относительно $x$: $x^3 - 5x - 12 = 0$
Чтобы доказать, что $x$ является рациональным числом, найдем рациональные корни этого уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если у этого уравнения есть рациональные корни, то они должны быть целыми делителями свободного члена (-12). Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.
Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:
- При $x=1$: $1^3 - 5(1) - 12 = 1 - 5 - 12 = -16 \neq 0$
- При $x=2$: $2^3 - 5(2) - 12 = 8 - 10 - 12 = -14 \neq 0$
- При $x=3$: $3^3 - 5(3) - 12 = 27 - 15 - 12 = 0$
Таким образом, $x=3$ является корнем уравнения.
Чтобы убедиться, что исходное число равно именно 3, покажем, что это единственный действительный корень. Разделим многочлен $x^3 - 5x - 12$ на $(x-3)$. В результате деления получим $x^2 + 3x + 4$. Таким образом, уравнение можно записать в виде: $(x-3)(x^2+3x+4) = 0$
Квадратное уравнение $x^2+3x+4=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$. Следовательно, кубическое уравнение $x^3 - 5x - 12 = 0$ имеет единственный действительный корень $x=3$.
Поскольку исходное выражение $x = \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$ является действительным числом (сумма двух действительных чисел), оно должно быть равно этому единственному действительному корню. Значит, $x=3$. Число 3 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$. Таким образом, мы доказали, что исходное число рационально.
Ответ: Исходное число равно 3, что является рациональным числом.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 27 расположенного на странице 317 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №27 (с. 317), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.