Номер 31, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 31, страница 317.

Условие.

31. Докажите формулы:

а) $\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}};$

б) $\sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$

Решение 5.

Для доказательства данных формул мы возведем в квадрат их правые части и покажем, что они равны подкоренным выражениям в левых частях. Будем считать, что все выражения под корнями неотрицательны, то есть $ a \ge 0, b \ge 0, a^2 \ge b $.

а) Докажем формулу $ \sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $.

Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $:

$ \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 = $

$ = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 = $

Сначала упростим сумму первого и третьего слагаемых:

$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 - b} + a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{2a}{2} = a $.

Теперь упростим второе слагаемое:

$ 2 \cdot \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b})(a - \sqrt{a^2 - b})}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (\sqrt{a^2 - b})^2}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b)}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{b}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{b}}{2} = \sqrt{b} $.

Собрав все вместе, получаем:

$ a + \sqrt{b} $.

Таким образом, квадрат правой части равенства равен подкоренному выражению левой части. Так как обе части исходного равенства неотрицательны, само равенство является верным.

Ответ: Формула доказана.

б) Докажем формулу $ \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $.

Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:

$ \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 = $

$ = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 - 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 = $

Сумма первого и третьего слагаемых, как и в пункте а), равна $ a $.

Вычитаемое (удвоенное произведение), как и в пункте а), равно $ \sqrt{b} $.

Собрав все вместе, получаем:

$ a - \sqrt{b} $.

Квадрат правой части равен подкоренному выражению левой части. Убедимся, что правая часть неотрицательна. Это выполняется, если $ \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \ge \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $, что равносильно $ a + \sqrt{a^2 - b} \ge a - \sqrt{a^2 - b} $, или $ 2\sqrt{a^2 - b} \ge 0 $. Это верно при $ a^2 \ge b $. Таким образом, при условии, что все корни определены, обе части исходного равенства неотрицательны, и само равенство является верным.

Ответ: Формула доказана.