Номер 31, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 31, страница 317.
№31 (с. 317)
Условие. №31 (с. 317)
скриншот условия

31. Докажите формулы:
а) $\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}};$
б) $\sqrt{a-\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$
Решение 5. №31 (с. 317)
Для доказательства данных формул мы возведем в квадрат их правые части и покажем, что они равны подкоренным выражениям в левых частях. Будем считать, что все выражения под корнями неотрицательны, то есть $ a \ge 0, b \ge 0, a^2 \ge b $.
а) Докажем формулу $ \sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $.
Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $:
$ \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 = $
$ = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 = $
Сначала упростим сумму первого и третьего слагаемых:
$ \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 - b} + a - \sqrt{a^2 - b}}{2} = \frac{2a}{2} = a $.
Теперь упростим второе слагаемое:
$ 2 \cdot \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b})(a - \sqrt{a^2 - b})}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (\sqrt{a^2 - b})^2}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b)}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{b}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{b}}{2} = \sqrt{b} $.
Собрав все вместе, получаем:
$ a + \sqrt{b} $.
Таким образом, квадрат правой части равенства равен подкоренному выражению левой части. Так как обе части исходного равенства неотрицательны, само равенство является верным.
Ответ: Формула доказана.
б) Докажем формулу $ \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $.
Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:
$ \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 = $
$ = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 - 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \right)^2 = $
Сумма первого и третьего слагаемых, как и в пункте а), равна $ a $.
Вычитаемое (удвоенное произведение), как и в пункте а), равно $ \sqrt{b} $.
Собрав все вместе, получаем:
$ a - \sqrt{b} $.
Квадрат правой части равен подкоренному выражению левой части. Убедимся, что правая часть неотрицательна. Это выполняется, если $ \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \ge \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $, что равносильно $ a + \sqrt{a^2 - b} \ge a - \sqrt{a^2 - b} $, или $ 2\sqrt{a^2 - b} \ge 0 $. Это верно при $ a^2 \ge b $. Таким образом, при условии, что все корни определены, обе части исходного равенства неотрицательны, и само равенство является верным.
Ответ: Формула доказана.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 31 расположенного на странице 317 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31 (с. 317), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.