Номер 35, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 35, страница 318.

Условие.

35. a) $ \arcsin (\sin 10); $

Б) $ \arccos (\cos 12); $

В) $ \arctan (\tan 2); $

Г) $ \arccot (\cot 3). $

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вычисления значения выражения $\arcsin(\sin 10)$ используется определение арксинуса. Значение $\arcsin(y)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $y$. Таким образом, нам нужно найти такое число $\alpha$, что $\sin(\alpha) = \sin(10)$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Приближенно это $[-1.57, 1.57]$. Число 10 не принадлежит этому отрезку, поэтому $\arcsin(\sin 10) \neq 10$.
Для нахождения правильного значения воспользуемся свойствами синуса. Известно, что $\sin(x) = \sin(\pi - x)$. Также синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то есть $\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$ для любого целого $k$.
Объединяя эти свойства, получаем, что $\sin(x)$ имеет два семейства углов с одинаковым значением: $x + 2k\pi$ и $\pi - x + 2k\pi = (2k+1)\pi - x$.
Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы одно из выражений, $10 + 2k\pi$ или $(2k+1)\pi - 10$, попало в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Рассмотрим второй случай: $(2k+1)\pi - 10$.
$-\frac{\pi}{2} \le (2k+1)\pi - 10 \le \frac{\pi}{2}$
$10 - \frac{\pi}{2} \le (2k+1)\pi \le 10 + \frac{\pi}{2}$
$\frac{10}{\pi} - \frac{1}{2} \le 2k+1 \le \frac{10}{\pi} + \frac{1}{2}$
Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$3.183 - 0.5 \le 2k+1 \le 3.183 + 0.5$
$2.683 \le 2k+1 \le 3.683$
Единственное нечетное целое число в этом промежутке — это 3. Значит, $2k+1 = 3$, откуда $k=1$.
Искомое значение $\alpha = 3\pi - 10$. Проверим, что оно находится в нужном диапазоне: $3\pi - 10 \approx 9.425 - 10 = -0.575$. Это значение действительно лежит в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$.
Таким образом, $\sin(10) = \sin(3\pi - 10)$, и так как $3\pi - 10$ принадлежит области значений арксинуса, то $\arcsin(\sin 10) = 3\pi - 10$.
Ответ: $3\pi - 10$.

б) Для вычисления значения выражения $\arccos(\cos 12)$ необходимо найти такое число $\alpha$, что $\cos(\alpha) = \cos(12)$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Приближенно это $[0, 3.14]$. Число 12 не принадлежит этому отрезку, поэтому $\arccos(\cos 12) \neq 12$.
Воспользуемся свойствами косинуса. Известно, что $\cos(x) = \cos(-x)$, и косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то есть $\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$ для любого целого $k$.
Объединяя эти свойства, получаем, что $\cos(x)$ имеет два семейства углов с одинаковым значением: $x + 2k\pi$ и $-x + 2k\pi$.
Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы одно из выражений, $12 + 2k\pi$ или $-12 + 2k\pi$, попало в отрезок $[0, \pi]$.
Рассмотрим второй случай: $-12 + 2k\pi$.
$0 \le -12 + 2k\pi \le \pi$
$12 \le 2k\pi \le \pi + 12$
$\frac{12}{2\pi} \le k \le \frac{\pi + 12}{2\pi}$
$\frac{6}{\pi} \le k \le \frac{1}{2} + \frac{6}{\pi}$
Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$1.91 \le k \le 0.5 + 1.91$
$1.91 \le k \le 2.41$
Единственное целое число в этом промежутке — это 2. Значит, $k=2$.
Искомое значение $\alpha = -12 + 2(2)\pi = 4\pi - 12$. Проверим, что оно находится в нужном диапазоне: $4\pi - 12 \approx 4 \cdot 3.14159 - 12 = 12.566 - 12 = 0.566$. Это значение действительно лежит в отрезке $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$.
Таким образом, $\cos(12) = \cos(4\pi - 12)$, и так как $4\pi - 12$ принадлежит области значений арккосинуса, то $\arccos(\cos 12) = 4\pi - 12$.
Ответ: $4\pi - 12$.

в) Для вычисления значения выражения $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 2)$ необходимо найти такое число $\alpha$, что $\operatorname{tg}(\alpha) = \operatorname{tg}(2)$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Приближенно это $(-1.57, 1.57)$. Число 2 не принадлежит этому интервалу, поэтому $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 2) \neq 2$.
Воспользуемся свойством тангенса. Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, то есть $\operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + k\pi)$ для любого целого $k$.
Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы выражение $2 + k\pi$ попало в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
$-\frac{\pi}{2} < 2 + k\pi < \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} - 2 < k\pi < \frac{\pi}{2} - 2$
$-\frac{1}{2} - \frac{2}{\pi} < k < \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi}$
Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$-0.5 - 0.637 < k < 0.5 - 0.637$
$-1.137 < k < -0.137$
Единственное целое число в этом промежутке — это -1. Значит, $k=-1$.
Искомое значение $\alpha = 2 - \pi$. Проверим, что оно находится в нужном диапазоне: $2 - \pi \approx 2 - 3.14159 = -1.14159$. Это значение действительно лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57, 1.57)$.
Таким образом, $\operatorname{tg}(2) = \operatorname{tg}(2 - \pi)$, и так как $2 - \pi$ принадлежит области значений арктангенса, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 2) = 2 - \pi$.
Ответ: $2 - \pi$.

г) Для вычисления значения выражения $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 3)$ используется определение арккотангенса. Тождество $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = x$ верно только в том случае, если $x$ принадлежит области значений функции арккотангенс, то есть интервалу $(0, \pi)$.
Оценим значение аргумента, равного 3. Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем, что $0 < 3 < 3.14159...$, то есть $0 < 3 < \pi$.
Поскольку число 3 принадлежит области значений арккотангенса, тождество $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = x$ для $x=3$ выполняется.
Следовательно, $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 3) = 3$.
Ответ: $3$.