Номер 41, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 41, страница 318.

Условие.

41. Решите в целых числах уравнение

$ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \frac{x-3}{x} + \dots + \frac{1}{x} = 3. $

Решение 5.

Дано уравнение, которое необходимо решить в целых числах: $$ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \frac{x-3}{x} + \dots + \frac{1}{x} = 3 $$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку $x$ находится в знаменателе, $x$ не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Далее, рассмотрим числители дробей в левой части уравнения: $x-1, x-2, x-3, \dots, 1$. Они образуют убывающую последовательность целых чисел. Чтобы эта последовательность имела смысл и заканчивалась числом 1, ее первый член $x-1$ должен быть целым числом, не меньшим 1. Таким образом, мы получаем условие: $$ x-1 \ge 1 \implies x \ge 2 $$ Так как по условию задачи $x$ является целым числом, то $x$ должен быть целым числом, большим или равным 2.

Теперь упростим левую часть уравнения. Все дроби имеют общий знаменатель $x$, поэтому мы можем сложить их числители: $$ \frac{(x-1) + (x-2) + (x-3) + \dots + 1}{x} = 3 $$ Выражение в числителе представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Для нахождения этой суммы определим ее параметры: первый член прогрессии $a_1 = x-1$, последний член $a_n = 1$, количество членов $n = (x-1) - 1 + 1 = x-1$. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. Подставив наши значения, получим сумму числителей: $$ S = \frac{(x-1)((x-1) + 1)}{2} = \frac{(x-1)x}{2} $$

Подставим полученное выражение для суммы обратно в исходное уравнение: $$ \frac{\frac{(x-1)x}{2}}{x} = 3 $$ Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \ge 2$ (и, следовательно, $x \neq 0$), мы можем сократить дробь на $x$: $$ \frac{(x-1)x}{2x} = 3 $$ $$ \frac{x-1}{2} = 3 $$

Решим полученное линейное уравнение: $$ x-1 = 3 \cdot 2 $$ $$ x-1 = 6 $$ $$ x = 7 $$

Полученное значение $x=7$ является целым числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$. Для уверенности выполним проверку, подставив $x=7$ в исходное уравнение: $$ \frac{7-1}{7} + \frac{7-2}{7} + \frac{7-3}{7} + \frac{7-4}{7} + \frac{7-5}{7} + \frac{7-6}{7} = 3 $$ $$ \frac{6+5+4+3+2+1}{7} = 3 $$ $$ \frac{21}{7} = 3 $$ $$ 3 = 3 $$ Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x=7$.