Номер 44, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 44, страница 319.

Условие.

44. Найдите трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего данного на 400, — арифметическую.

Решение 5.

Пусть искомое трехзначное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $100a + 10b + c$.

По условию, $a, b, c$ являются цифрами, то есть целыми числами от 0 до 9. Так как число трехзначное, $a \ne 0$, следовательно, $1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$, $0 \le c \le 9$.

Условие геометрической прогрессии

Цифры $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что существует знаменатель прогрессии $q$ такой, что $b = aq$ и $c = bq = aq^2$. Основное свойство геометрической прогрессии для трех членов: квадрат среднего члена равен произведению крайних. Таким образом, $b^2 = ac$.

Условие арифметической прогрессии

Рассмотрим второе число, которое на 400 меньше данного. Его значение равно $(100a + 10b + c) - 400 = 100(a-4) + 10b + c$.

Поскольку исходное число должно быть больше 400, первая цифра $a$ должна быть не меньше 4, то есть $a \ge 4$.

Цифры нового числа — это $a' = a-4$, $b' = b$ и $c' = c$. Эти три цифры образуют арифметическую прогрессию. Основное свойство арифметической прогрессии для трех членов: удвоенный средний член равен сумме крайних. Таким образом, $2b' = a' + c'$, что в наших обозначениях выглядит как $2b = (a-4) + c$.

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений относительно цифр $a, b, c$:

$\begin{cases} b^2 = ac \\ 2b = a - 4 + c \end{cases}$

Выразим $c$ из второго уравнения: $c = 2b - a + 4$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$b^2 = a(2b - a + 4)$

$b^2 = 2ab - a^2 + 4a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $b$:

$b^2 - 2ab + (a^2 - 4a) = 0$

Решим это уравнение для $b$, используя формулу для корней квадратного уравнения, где $a$ выступает в роли параметра:

$b = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a)}}{2 \cdot 1} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4a^2 + 16a}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{16a}}{2} = \frac{2a \pm 4\sqrt{a}}{2}$

$b = a \pm 2\sqrt{a}$

Поскольку $a$ и $b$ — это цифры (целые числа), выражение $2\sqrt{a}$ должно быть целым числом. Это возможно только если $a$ является полным квадратом.

Учитывая ранее установленное ограничение $4 \le a \le 9$, возможные значения для $a$ — это $4$ и $9$.

Случай 1: $a = 4$

Подставляем $a=4$ в формулу для $b$:

$b = 4 \pm 2\sqrt{4} = 4 \pm 2 \cdot 2 = 4 \pm 4$.

Получаем два возможных значения для $b$.

Первый вариант: $b = 4 + 4 = 8$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(8) - 4 + 4 = 16$. Это значение не является цифрой, поэтому этот вариант не подходит.

Второй вариант: $b = 4 - 4 = 0$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(0) - 4 + 4 = 0$. Цифры $a=4, b=0, c=0$ являются допустимыми.

Проверим найденное число 400. Его цифры (4, 0, 0) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=0$. Число, меньшее на 400, это $400 - 400 = 0$. Цифры этого числа (можно представить как 0, 0, 0) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=0$. Условия выполнены.

Случай 2: $a = 9$

Подставляем $a=9$ в формулу для $b$:

$b = 9 \pm 2\sqrt{9} = 9 \pm 2 \cdot 3 = 9 \pm 6$.

Получаем два возможных значения для $b$.

Первый вариант: $b = 9 + 6 = 15$. Это значение не является цифрой, поэтому этот вариант не подходит.

Второй вариант: $b = 9 - 6 = 3$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(3) - 9 + 4 = 1$. Цифры $a=9, b=3, c=1$ являются допустимыми.

Проверим найденное число 931. Его цифры (9, 3, 1) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1/3$. Число, меньшее на 400, это $931 - 400 = 531$. Его цифры (5, 3, 1) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=-2$. Условия выполнены.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа.

Ответ: 400, 931.