Номер 44, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 44, страница 319.
№44 (с. 319)
Условие. №44 (с. 319)
скриншот условия

44. Найдите трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего данного на 400, — арифметическую.
Решение 5. №44 (с. 319)
Пусть искомое трехзначное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $100a + 10b + c$.
По условию, $a, b, c$ являются цифрами, то есть целыми числами от 0 до 9. Так как число трехзначное, $a \ne 0$, следовательно, $1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$, $0 \le c \le 9$.
Условие геометрической прогрессии
Цифры $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что существует знаменатель прогрессии $q$ такой, что $b = aq$ и $c = bq = aq^2$. Основное свойство геометрической прогрессии для трех членов: квадрат среднего члена равен произведению крайних. Таким образом, $b^2 = ac$.
Условие арифметической прогрессии
Рассмотрим второе число, которое на 400 меньше данного. Его значение равно $(100a + 10b + c) - 400 = 100(a-4) + 10b + c$.
Поскольку исходное число должно быть больше 400, первая цифра $a$ должна быть не меньше 4, то есть $a \ge 4$.
Цифры нового числа — это $a' = a-4$, $b' = b$ и $c' = c$. Эти три цифры образуют арифметическую прогрессию. Основное свойство арифметической прогрессии для трех членов: удвоенный средний член равен сумме крайних. Таким образом, $2b' = a' + c'$, что в наших обозначениях выглядит как $2b = (a-4) + c$.
Решение системы уравнений
Мы получили систему из двух уравнений относительно цифр $a, b, c$:
$\begin{cases} b^2 = ac \\ 2b = a - 4 + c \end{cases}$
Выразим $c$ из второго уравнения: $c = 2b - a + 4$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$b^2 = a(2b - a + 4)$
$b^2 = 2ab - a^2 + 4a$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $b$:
$b^2 - 2ab + (a^2 - 4a) = 0$
Решим это уравнение для $b$, используя формулу для корней квадратного уравнения, где $a$ выступает в роли параметра:
$b = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a)}}{2 \cdot 1} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4a^2 + 16a}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{16a}}{2} = \frac{2a \pm 4\sqrt{a}}{2}$
$b = a \pm 2\sqrt{a}$
Поскольку $a$ и $b$ — это цифры (целые числа), выражение $2\sqrt{a}$ должно быть целым числом. Это возможно только если $a$ является полным квадратом.
Учитывая ранее установленное ограничение $4 \le a \le 9$, возможные значения для $a$ — это $4$ и $9$.
Случай 1: $a = 4$
Подставляем $a=4$ в формулу для $b$:
$b = 4 \pm 2\sqrt{4} = 4 \pm 2 \cdot 2 = 4 \pm 4$.
Получаем два возможных значения для $b$.
Первый вариант: $b = 4 + 4 = 8$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(8) - 4 + 4 = 16$. Это значение не является цифрой, поэтому этот вариант не подходит.
Второй вариант: $b = 4 - 4 = 0$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(0) - 4 + 4 = 0$. Цифры $a=4, b=0, c=0$ являются допустимыми.
Проверим найденное число 400. Его цифры (4, 0, 0) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=0$. Число, меньшее на 400, это $400 - 400 = 0$. Цифры этого числа (можно представить как 0, 0, 0) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=0$. Условия выполнены.
Случай 2: $a = 9$
Подставляем $a=9$ в формулу для $b$:
$b = 9 \pm 2\sqrt{9} = 9 \pm 2 \cdot 3 = 9 \pm 6$.
Получаем два возможных значения для $b$.
Первый вариант: $b = 9 + 6 = 15$. Это значение не является цифрой, поэтому этот вариант не подходит.
Второй вариант: $b = 9 - 6 = 3$. Тогда $c = 2b - a + 4 = 2(3) - 9 + 4 = 1$. Цифры $a=9, b=3, c=1$ являются допустимыми.
Проверим найденное число 931. Его цифры (9, 3, 1) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1/3$. Число, меньшее на 400, это $931 - 400 = 531$. Его цифры (5, 3, 1) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=-2$. Условия выполнены.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа.
Ответ: 400, 931.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 44 расположенного на странице 319 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №44 (с. 319), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.